UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 2ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 2b
Seja uma função de classe e considere a sua Jacobiana no ponto . Suponha que e e que os vetores e sejam ortogonais entre si.
Determine (em função de e a função afim que melhor aproxima para próximo de .
Passo 1
Fala aí galera, tudo tranquilo?
Nessa questão temos uma função vetorial de várias variáveis. Nesse caso é dito que ela é do no . Ou seja, é como se sua lei de formação fosse dada por:
Sobre essa função é dada a sua matriz Jacobiana em , que nada mais é do que uma matriz com as derivadas das componentes de com relação a suas variáveis no ponto .
A partir dessas informações, e sabendo também que:
Precisamos determinar a função afim que melhor aproxima para próximo de .
Então galera, sei que parece uma viagem muito grande isso que tão pedindo mas tem uma teoria que nos ajuda bastante. Basicamente, dizemos que essa função afim que estamos procurando é dada por:
Mas o que são cada um desses termos, certo?
O ponto do domínio de que estamos buscando calcular uma função inversa com contradomínio na sua vizinhança.
Pois:
Os pontos que estarão no domínio da inversa, chamaremos de .
E, por fim:
A derivada da função inversa. Para calculá-la usaremos o teorema da função inversa, que basicamente diz:
Massa! Então vamos pras continhas!
Passo 2
Como vimos, a função que estamos procurando é dada por:
Vamos ir substituindo as informações que já temos:
Logo:
Show! Precisamos então calcular:
Pelo teorema da função inversa, sabemos que:
Mas, a derivada de em é justamente a Jacobiana. Ou seja:
Daí, pra calcular a sua inversa, podemos usar aquela fórmula bizurada para matrizes . Vamos ter:
Perfeito!
Voltando na nossa expressão, temos:
Prontinho pessoal! Essa é a função que melhor aproxima a inversa de .
Curtiram a solução? Responde Aí!