Seja f : D f ⊂ R 2 → R 2 uma função de classe C 1 e considere D f p 1 , p 2 = a b c d a sua Jacobiana no ponto p 1 , p 2 ∈ D f . Suponha que a ≠ 0 e d ≠ 0 e que os vetores ( a , b ) e ( d , c ) sejam ortogonais entre si.

b ) Determine (em função de a , b , c , d , p 1 p 2 ,   q 1 e q 2 ) a função afim que melhor aproxima f - 1 ( x , y ) para ( x , y ) próximo de q 1 , q 2 = f ( p 1 , p 2 ) .

Passo 1

Fala aí galera, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma função f vetorial de várias variáveis. Nesse caso é dito que ela é do R 2 no R 2 . Ou seja, é como se sua lei de formação fosse dada por:

f x , y = ( f 1 , f 2 )

Sobre essa função é dada a sua matriz Jacobiana em ( p 1 , p 2 ) , que nada mais é do que uma matriz com as derivadas das componentes de f com relação a suas variáveis no ponto ( p 1 , p 2 ) .

A partir dessas informações, e sabendo também que:

f p 1 , p 2 = ( q 1 , q 2 )

Precisamos determinar a função afim que melhor aproxima f - 1 ( x , y ) para x , y próximo de q 1 , q 2 .

Então galera, sei que parece uma viagem muito grande isso que tão pedindo mas tem uma teoria que nos ajuda bastante. Basicamente, dizemos que essa função afim que estamos procurando é dada por:

L - 1 Y = P 0 + f - 1 ' Y 0 ⋅ ( Y - Y 0 )

Mas o que são cada um desses termos, certo?

P 0 = ( p 1 , p 2 )

O ponto do domínio de f que estamos buscando calcular uma função inversa com contradomínio na sua vizinhança.

Y 0 = f P 0 = ( q 1 , q 2 )

Pois:

f p 1 , p 2 = q 1 , q 2

Y → Os pontos que estarão no domínio da inversa, chamaremos de u , v = Y .

E, por fim:

f - 1 ' → A derivada da função inversa. Para calculá-la usaremos o teorema da função inversa, que basicamente diz:

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

Massa! Então vamos pras continhas!

Passo 2

Como vimos, a função que estamos procurando é dada por:

L - 1 Y = P 0 + f - 1 ' Y 0 ⋅ ( Y - Y 0 )

Vamos ir substituindo as informações que já temos:

P 0 = p 1 , p 2 Y 0 = q 1 , q 2 Y = ( u , v )

Logo:

L - 1 u , v = p 1 , p 2 + f - 1 ' q 1 , q 2 ⋅ u , v - q 1 , q 2

Show! Precisamos então calcular:

( f - 1 ) ' ( q 1 , q 2 )

Pelo teorema da função inversa, sabemos que:

f - 1 ' q 1 , q 2 = f ' p 1 , p 2 - 1

Mas, a derivada de f em ( p 1 , p 2 ) é justamente a Jacobiana. Ou seja:

f ' p 1 , p 2 = a b c d

Daí, pra calcular a sua inversa, podemos usar aquela fórmula bizurada para matrizes 2 × 2 . Vamos ter:

f ' p 1 , p 2 - 1 = 1 a d - b c ⋅ d - b - c a

Perfeito!

Voltando na nossa expressão, temos:

L - 1 u , v = p 1 p 2 + 1 a d - b c ⋅ d - b - c a ⋅ u - q 1 v - q 2

Prontinho pessoal! Essa é a função que melhor aproxima a inversa de f .

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

L - 1 u , v = p 1 p 2 + 1 a d - b c ⋅ d - b - c a ⋅ u - q 1 v - q 2

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