USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.5c
Seja
- é diferenciável em ?
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função de duas variáveis
E perguntou se é diferenciável.
Mas como decifrar isso?
Vamos por partes! Para uma função ser diferenciável ela primeiro precisa ser contínua! Ela também precisa ter derivadas parciais existentes em todos em pontos do domínio. E essas duas condições nós já analisamos nos itens anteriores!
E tem mais um detalhe! Ela além desses dois itens, precisa ter a função erro igual a zero! Mas vamos por partes!
Então a ideia é resgatar esses resultados e verificar se ela é diferenciável!
É isso! Bora lá?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar resgatando dos exercícios anteriores, temos que as parciais existem e valem
Isso para . Para temos que a função é constante então
Então temos que as derivadas não são contínuas, portanto, não temos um dos critérios que é a continuidade das derivadas!
Quando à continuidade está tudo bem
Verificamos que esse limite existe e é zero! Deixando nossa função contínua!
Passo 3
Agora vamos ao cálculo do erro! Precisamos encontrar esse limite quando nossa função é
Substituindo os valores temos
Vamos arrumar um pouco essa expressão
Beleza? Nossa missão é analisar esse limite! Sabemos que
É uma função limitada, sendo assim precisamos verificar se
Vai à zero! Beleza? Vamos supor
E esbarramos no problema do módulo! Para nosso limite fica
E para nosso limite fica
Logo não existe! E portanto nosso erro não é zero e nossa função não é diferenciável!