Seja
É correto afirmar que:
para todo
é contínua na origem
é diferenciável na origem
quando ao longo de qualquer reta que passa pela origem
tem derivadas parciais na origem
Passo 1
Vamos analisar cada afirmação.
Começando pela letra :
Diz que é sempre positiva. Mas isso não faz sentido né?
Tanto quanto podem assumir valores negativos e, se isso não acontecer ao mesmo tempo, a nossa será negativa também.
Logo, essa primeira afirmação é falsa.
Passo 2
Vamos para a letra :
Para ser contínua na origem, é preciso que
Vamos calcular esse limite então.
Bem, não sei se isso já é claro na sua cabeça, mas esse é um limite batido, que, quando calculado por caminhos diferentes, dá resultados diferentes, portanto, é um limite que não existe.
Mas, se não for obvio pra você isso, não tem problema. Você pode identificar isso observando que o grau do numerador e do denominador são iguais (2). E isso é um indicio de que o limite não vai existir.
Calculando por caminhos diferentes então, vamos ter:
•
•
Assim, o limite não existe, e se ele não existe, a função não pode ser contínua na origem.
Então, a afirmativa também é falsa.
Passo 3
A afirmativa é um presente pra gente, que é craque em diferenciabilidade, não é mesmo!? (nem vem dizer que não é, porque é sim, aiaiai)
Se a função não é sequer contínua na origem, então ela não pode ser diferenciável né?
Então a letra é uma falácia.
Passo 4
Olha ai outro presente pra gente!
Não pode ser igual a zero ao longo de todas as retas que passam pela origem, porque já vimos no passo 2 que esse limite não existe.
Mais uma mentira aí pra conta da questão.
Passo 5
Finalmente, por eliminação, só pode ser essa a alternativa verdadeira.
Mas como nosso objetivo aqui é estudar e se preparar pra prova, vamos mostrar porque ela é verdadeira.
Vamos calcular as derivadas parciais na origem, usando a definição de derivadas parciais.
Colocando , teremos:
Como ,
Passo 6
Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a . Pela definição,
Como ,
Tá vendo, as derivadas parciais não só existem, como valem zero, as duas.