Seja f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 ) .

a) Verifique que f é de classe C 1 em R 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f x ,   y é de classe C 1 em R 2 . Para uma função de duas variáveis ser de classe C 1 , ela precisa ser diferenciável.

Então, as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y precisam existir e serem contínuas. Sendo assim, vamos derivar a função parcialmente em relação a cada variável e verificar se a função resultante está definida para todo x ,   y ∈ R 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos testar a primeira parte da função, que poderia gerar alguma indeterminação, onde f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 . Então, vamos começar derivando f x ,   y em relação a x , usando a regra do produto:

∂ ∂ x x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ ∂ x = 4 x x 2 + y 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 x 2 + y 2 2

Simplificando, temos:

∂ ∂ x = 4 x sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2

De maneira muito parecida, derivando em relação a y , vamos obter:

∂ ∂ y = 4 y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Como temos um produto de funções contínuas (polinomiais e trigonométricas) em ambos os casos, podemos dizer que as derivadas são contínuas. Dessa forma, temos uma função f ( x ,   y ) de classe C 1 em R 2 , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f x ,   y   é   d e   c l a s s e   C 1

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