USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.16a
Seja .
a) Verifique que é de classe em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função é de classe em . Para uma função de duas variáveis ser de classe , ela precisa ser diferenciável.
Então, as derivadas parciais e precisam existir e serem contínuas. Sendo assim, vamos derivar a função parcialmente em relação a cada variável e verificar se a função resultante está definida para todo .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos testar a primeira parte da função, que poderia gerar alguma indeterminação, onde . Então, vamos começar derivando em relação a , usando a regra do produto:
Simplificando, temos:
De maneira muito parecida, derivando em relação a , vamos obter:
Como temos um produto de funções contínuas (polinomiais e trigonométricas) em ambos os casos, podemos dizer que as derivadas são contínuas. Dessa forma, temos uma função de classe em , como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉