UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 5a
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Nas questões de diferenciabilidade podemos testar uma coisinha antes: verificar se a função é contínua nesse ponto.
Se ela já não for, então ela não será diferenciável! Mas como mostrar que uma função é (ou não) contínua?
Através do limite! Vamos ver se os limites bilaterais são iguais ao valor da função no ponto! No nosso caso a função é dividida
Sabemos que em a função é zero, mas e para valores diferentes de zero? Fazendo o limite quando ? Será que é também!
É isso que precisamos saber! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Precisamos verificar se
É zero! Se ela não for igual a zero significa que ela não é contínua nesse ponto e, portanto, não diferenciável, tudo bem?
Substituindo no limite
Chegamos a uma indeterminação, então precisamos encontrar outro método para calcular esse limite! E o método a ser usado aqui é o do: testar múltiplos caminhos
Ou seja: quando temos que o grau do numerador é igual ou menor ao grau do denominador, podemos fazer uma mudança de variáveis bem simples
Assim quando o também irá a zero.
A ideia aqui é quanto a esse ! Se o valor do limite depender de , isso vai significar que pode até ser que por um caminho esse limite dê zero, mas não é o único! Existe outros caminhos em que esse limite não é zero, e, portanto, esse limite não existe!
Bora mudar de variável?
Passo 3
Vamos dizer que , então nosso limite que era assim
Vai ficar apenas em uma variável, assim
Podemos simplificar tudo por e aí temos:
Um resultado que INDEPENDE de e depende APENAS de ! Isso significa que temos infinitos resultados possíveis, e assim nosso limite
Não existe!
Se o limite não existe, nossa função não é contínua em , e não sendo diferenciável também!
E é isso, espero ter ajudado!
Até a próxima!