Seja
Considere as afirmativas:
- é contínua em
- é contínua em apenas
- é diferenciável em
Marque a alternativa correta:
- Apemas a afirmativa é verdadeira
- Apenas as afirmativas e são verdadeiras
- Todas as afirmativas são falsas
- Apenas as afirmativas e são verdadeiras
- Apenas a afirmativa é falsa
Passo 1
Vamos começar verificando a continuidade da nossa função.
Para , temos que ela é a composição de funções contínuas, que é a função cosseno e a função polinomial. Então nesse intervalo tá sussa: nossa função é contínua.
Passo 2
Agora precisamos analisar a continuidade para .
Para isso, temos que calcular
E ver se ele dá zero, que é a definição da função nesse ponto.
Vamos lá então. Como temos uma função cosseno, é interessante usar o teorema do sanduíche, pois já sabemos de cara que a função cosseno é limitada.
Passo 3
Agora vamos olhar o resto da função:
Podemos dizer que
Porque quando eu divido 1 por algo maior, obtenho um valor menor.
Agora, multiplocando tudo por :
Assim
E, além disso,
Passo 4
Multiplicando tudo por :
Agora é só usar o teorema do sanduíche para calcular os limites:
Para esse ultimo limite aí, temos uma função limitada, que é o cosseno, vezes uma função cujo limite vai pra zero. Então, pelo teorema do anulamento, esse limite vale zero. Assim
Então, pelo teorema do sanduíche,
E zero é justamente o valor da função quando . Desse modo, nossa função também é continua em .
Passo 5
Beleza, já analisamos a continuidade da função e com isso já matamos todas as afirmações que envolviam continuidade. E com isso, sabemos que a afirmativa é falsa. Mas ainda falta a afirmação sobre a diferenciabilidade da função.
Bom, se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto! Logo, basta vermos se as derivadas parciais de atendem essas exigências para o . O que é a mesma coisa que testar a função abaixo:
Passo 6
Então essa derivada existe e é perfeitamente contínua em já que ela é formada por várias funções contínuas! Vamos ver a outra:
Novamente, a derivada existe e é contínua! Então a é verdadeira! A nossa função é diferenciável em .
Repare que a alternativa II só tá errada porque ela fala apenas no . Mas na verdade, se fizermos as derivadas parciais pela definição, veremos que a função também é diferenciável em . Por isso a IV tá certa e a II errada.
Ou seja, a resposta tem que ser a Letra !