Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Limites e Continuidade
Considere a função:
- A função é contínua em ? Justifique!
- Calcule as derivadas parciais e .
- Determine as derivadas parciais e para .
- é diferenciável na origem? Justifique a sua resposta!
Passo 1
a)
Vamos lá... O que é uma função ser contínua? Nada mais é do que o limite quando ela tende a um ponto ser exatamente igual ao valor dela nesse ponto! Já sabemos o valor de , que, pelo enunciado, é . Agora vamos calcular o seguinte limite:
E veremos se ele é igual ou não ao valor da função nesse ponto. Se não for, então a função não é contínua. Se for, teremos que usar o teorema do sanduíche para ver se o limite realmente existe e é igual a .
Passo 2
Vamos tentar alguns caminhos?
Como temos uma soma no denominador, então optaremos primeiramente por um caminho que percorra ou o eixo ou o eixo . Por exemplo, pela reta , teremos a curva , com sendo qualquer número real, e limite fica:
Aí está, o limite encontrado foi !
Lembrando que isso não quer dizer que o limite exista e seja de fato igual a . Mesmo que no próximo passo encontremos , isso não quer dizer que o limite exista! Se por acaso isso acontecer, parta para o Teorema do Sanduiche ;)
Passo 3
Beleza, agora tentemos outro caminho. Como o grau do denominador é e no numerador temos um produto de variáveis de grau , é uma boa ideia tentar manter o mesmo grau em cima e embaixo. O caminho que atende bem a isso é a reta , ou seja, a parametrização . E o limite fica:
Opa! Deu diferente que o anterior! Mano, isso é realmente ótimo, porque economizamos o tempo que seria gasto provando a possível existência desse limite pelo teorema do sanduíche...
Logo, a função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe ;)
Passo 4
b)
Vamos fazer essas derivadas parciais? Não podemos simplesmente derivar , que é o valor que ela assume na origem, certo? Então vamos apelar para a definição da derivada parcial!
Em relação a fica:
E é isso, a derivada parcial em relação a é :)
Passo 5
Em relação a fica:
E aí está, a derivada em relação a é !
Passo 6
c)
Legal, essa é mais fácil, só fazer a derivada de cálculo 1, tratando a outra derivada como constante (lembrando que derivada de constante é ). Nessa função, temos que usar a regra do quociente: derivada da função de cima vezes a função de baixo, menos a derivada de baixo vezes a função de cima, e tudo isso dividido pela função de baixo ao quadrado ;)
A derivada em relação a é:
E a derivada em relação a é:
Passo 7
d)
Como a função não é contínua na origem, ela já não é diferenciável. Além disso, se você olhar para as derivadas que encontramos, a origem não é um ponto na qual ela é contínua, por que o denominador da fração seria !
Resposta
- A função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe
- e
- Não, por que a função não é contínua na origem.