Derivadas parciais
Dada a função
- Calcule o , se este limite existir. Justifique sua resposta!
- A função é continua na origem? Justifique sua resposta!
- A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta!
Passo 1
a)
Vamos primeiro achar esse limite. Tentar substituir valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 2
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:
Também não há nenhuma função trigonométrica.
E além disso, temos e somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.
Passo 3
Vamos substituir para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:
Então esse limite está dependendo do caminho.
Logo, não existe limite!
Passo 4
b)
Se o limite não existe a função não é continua nesse ponto.
Passo 5
c)
Lembra dos teoremas de diferenciabilidade?
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
- Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
O contrario do primeiro teorema seria
Se uma função não é continua em um ponto, então ela não é diferenciável nesse ponto;
Então a função não é diferenciavel.
Resposta
- Não existe
- Não
- Não