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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 5b

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em ( 0,0 ) :

b )   f ( x , y ) = x 1 3 cos ⁡ y

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Nas questões de diferenciabilidade precisamos que essas duas condições aqui sejam verdadeiras

  1. As derivadas parciais a = ∂ f ∂ x e b = ∂ f ∂ y aplicadas no ponto (no nosso caso x 0 , y 0 = ( 0,0 ) ) devem existir
  2. E o limite do erro E ( h , k ) deve valer zero. Esse limite é:

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 - a h - b k h 2 + k 2

( x 0 , y 0 ) !

Então precisamos seguir esses passos aqui:

  • Calcular f x 0 + h ,   y 0 + k ,   f x 0 , y 0   e as parciais   a ,   b
  • Garantir que a ,   b existam
  • Jogar todos os resultados no limite e calcular! Se o limite for zero, beleza! Se não, significa que a função NÃO é diferenciável no ponto

No nosso caso queremos avaliar em ( 0,0 )

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando as parciais e verificar se elas existem em ( 0,0 ) . Caso alguma não exista já podemos parar por aqui e dizer que a função não é diferenciável.

Nossa função é

f x , y = x 1 3 cos ⁡ y

Aí a parcial f x (a partir da definição) é

f x = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f ( 0,0 ) h = lim h → 0 ⁡ h 1 3 . c o s ⁡ ( 0 ) - 0 h = lim h → 0 ⁡ 1 h 2 / 3 = ∞

a = f x 0,0 = ∞

E já paramos por aqui!

Quando calculamos a primeira parcial, vemos que o resultado do limite é infinito, ou seja, ele NÃO está definido!

Sendo assim, falha com a primeira das duas condições para que a função seja diferenciável!

Então podemos concluir que a função

f x , y = x 1 3 cos ⁡ y

Não é diferenciável em ( 0,0 )

E é só isso! Quando um limite dá infinito, corre logo e diz que não é diferenciável, nem perde tempo!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

n ã o   é   d i f e r e n c i á v e l

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x 3 y 4 ( 1,1 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )