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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 1d

Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

  1. f é diferenciável em ( 0,0 ) ? justifique

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função com duas variáveis

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

E perguntou se f é diferenciável em ( 0,0 ) .

Como saber disso?

Para saber se uma função é contínua, precisamos calcular esse limite aqui

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y - f 0,0 - f x 0,0 x - 0 - f y 0,0 y - 0 x , y

Mas sabemos que f 0,0 = 0 , e que

f x 0,0 = f y 0,0 = 0

E também que

x , y = x 2 + y 2

Na verdade precisamos calcular esse limite aqui

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y x 2 + y 2

Para que a função f seja diferenciável, esse limite deve ser zero, já que vale para x , y ≠ 0 . Deve ser zero porque para x , y = 0 , temos que f x , y = 0 e os valores devem ser iguais.

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Precisamos calcular

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y x 2 + y 2

Substituindo f temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Podemos simplificar e teremos dentro do limite um produto

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 . s e n 1 x 2 + y 2

Beleza?

O limite do produto é o produto dos limites:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ s e n 1 x 2 + y 2

O limite mais à esquerda é zero

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 = 0

Já o limite mais à direita é o limite de uma função limitada

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n 1 x 2 + y 2 ≤ 1

Então o produto desses dois limites é zero!

Tudo bem até aqui?

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ⏝ = 0 lim x , y → 0,0 ⁡ s e n 1 x 2 + y 2 ⏝ l i m i t a d a = 0

Sendo assim, a função f   é contínua em ( 0,0 )

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

é   c o n t í n u a

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