Considere a função
- As derivadas parciais de na origem existem?
- A função é contínua na origem?
- A função é diferenciável na origem?
Passo 1
Aqui temos uma função definida por partes, então vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar ! Então vamos lá, para a derivada em relação a ,
Colocando , teremos:
Como ,
E aí está! Nossa derivada em relação a é !
Passo 2
Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a . Pela definição,
Como ,
Novamente, nossa derivada deu . Derivada parcial em relação a é !
Assim, as derivadas parciais de existem na origem e as duas valem zero.
Passo 3
Agora precisamos saber se essa função é contínua na origem.
Para uma função ser contínua, em qualquer ponto que seja, o limite dela quando ela tende a esse ponto deve ser igual ao valor dela para o tal ponto. Então, como sabemos que na origem o valor da função é , temos que verificar se o limite quando ela tende a é de fato !
Sem mais papo, vamos resolver isso aqui:
Passo 4
Mano, então, para provar que o limite existe e é igual a um número, temos que usar o Teorema do Sanduíche, normalmente –e particularmente, eu odeio isso. Então, antes de mais nada, vamos tentar provar que ele não existe, o que é muito mais fácil, beleza? Até porque, se você reparar, o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4) e isso é um indício de que esse limite aí não vai existir.
Provar que não existe um limite nada mais é do que encontrar dois valores diferentes para o limite da função (uma função que tem dois limites não possui limite!).
Então, vamos verificar qual seria o limite se percorrermos a função pela curva (ou seja, pelo próprio eixo ):
Beleza, encontramos como limite. Vamos continuar tentar para outras curvas, pelo menos pra mais duas até partir para o teorema do sanduiche!
Passo 5
Aqui vem uma dica importante: Viu que no numerado temos um produto e no denominador uma soma? Então vamos fazer com que o produto em cima tenha o mesmo grau da soma embaixo, que já vimos que é 4. Assim, se tentarmos pela curva , teremos:
E assim, conseguimos um outro valor pro limite! E como o mesmo limite não pode ter dois valores diferentes, o limite
não existe.
Conclusão: Função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a não existe!
Passo 6
Se a função não é sequer contínua na origem, ela muito menos pode ser diferenciável, né? Já dizia o teorema...
Então, a resposta aqui é: não, porque ela não é contínua na origem.
Resposta
As derivadas parciais de existem na origem e as duas valem zero.
A função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a não existe.
A função não é diferenciável na origem porque ela não é contínua na origem.