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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Considere a função:

h x , y = x y x 2 + y 2 , x , y ≠ ( 0,0 ) 0 , x , y = ( 0,0 )  

Considere as alternativas:

  1. ∂ h ∂ y 0,0 = lim t → 0 ⁡ h 0 , t - h 0,0 t = 0
  2. A função h x , y é continua em todos os pontos do seu domínio.
  3. A função h x , y é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Julgue as alternativas como verdadeiro (V) ou falso (F), na ordem:

  1. (I)V, (II)V, (III)V
  2. (I)F, (II)F, (III)F
  3. (I)V, (II)F, (III)V
  4. (I)V, (II)V, (III)F
  5. (I)V, (II)F, (III)F

Passo 1

O que o enunciado pede basicamente é para avaliarmos a diferenciabilidade dessa função em um ponto. Por isso é importante a gente lembrar qual é o caminho para uma função ser diferenciável:

1º Ela precisa ser contínua no ponto. O que significa que o limite da função tendendo a um ponto precisa ser igual ao valor da função naquele ponto.

2º Ela precisa ter derivadas no ponto em questão. Elas precisam existir.

3º As derivadas parciais precisam ser contínuas no ponto em questão.

A função precisa passar por esses passos para ser diferenciável. Se falhar em um, já não é. Com isso em mente, vamos avaliar cada item.

Passo 2

No item I, ele quer saber se:

∂ h ∂ y 0,0 = lim t → 0 ⁡ h 0 , t - h 0,0 t = 0

Ou seja, se a derivada parcial de h em relação a y no ponto ( 0,0 ) é 0 . Para saber se isso é verdade, a gente precisa calcular aquele limite ali:

Antes precisamos identificar quem é h 0 , t e h 0,0 . Pela definição da função:

h 0 , t = 0 ⋅ t 0 2 + t 2 = 0

h 0,0 = 0

Substituindo no limite:

lim t → 0 ⁡ h 0 , t - h 0,0 t = lim t → 0 ⁡ 0 - 0 t = lim t → 0 ⁡ 0 t = lim t → 0 ⁡ 0 = 0

Percebe que ali a gente não caiu numa indeterminação 0 0 , porque no numerador não tínhamos um valor tendendo a zero, mas um zero absoluto, beleza? Zero sobre qualquer valor, dá zero.

Então essa é verdadeira.

Passo 3

Ele diz que no item I a função é contínua em todo domínio. Se olharmos para definição dela, o único lugar onde ela pode ser descontínua é no ponto ( 0,0 ) . Então vamos analisar a continuidade dela nesse ponto.

Se ela for continua, o limite tendendo a esse ponto vai ser igual o valor da função nesse ponto:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = h 0,0 = 0

Vamos precisar resolver esse limite para ver se ele dá zero.

Usando o caminho x = m y (nosso objetivo é igualar os expoentes do numerador e do denominador):

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ m y 2 m 2 y 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ y 2 y 2 ⋅ m m 2 + 1 = lim x , y → 0,0 ⁡ m m 2 + 1

Esse limite sempre vai depender do valor de m . Como ele vai depender do caminho, podemos dizer que ele não existe.

Logo, nossa função tem uma descontinuidade e esse item é falso.

Passo 4

Já que a função é descontínua em ( 0,0 ) , ela não pode ser diferenciável, porque quebra a primeira condição que falamos no começo. Logo esse item também é falso.

Nossa alternativa então é a letra e.

Resposta

Letra e

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )