Considere a função
- Determine o domínio de
- Suponha que queiramos estender para todo o , ou seja, encontrar uma função que seja igual a dentro de (letra mas que fosse definida em todo o . Seria possível encontrar uma tal que fosse contínua? Justifique.
- Seria possível encontrar uma que fosse diferenciável? Justifique.
- Seria possível encontrar uma tal que admitisse funções derivadas parciais e contínuas? Justifique
Passo 1
Opa, falou em domínio significa que temos que verificar as restrições de .
Aqui, nossa única restrição é que é uma fração, então o denominador tem que ser diferente de zero.
Assim
E isso só acontece quando temos .
Então, o domínio de é
Passo 2
Assim, para ela ser contínua na origem, precisamos primeiramente defini-la na origem E fazer com que o valor dela na origem seja igual ao limite dela quando tendem a .
Então na real mesmo, o que temos que fazer é calcular
E ver se ele existe. E, se ele existir, dizer que quando , a função vale esse valor de limite que encontrarmos.
Passo 3
Vamos ver se ele existe então.
Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação .
Passo 4
Beleza, mas observa uma coisinha: o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4). Isso é um forte indicio de que esse limite não existe. Desse modo, vamos tentar calculá-lo por caminhos.
Por exemplo, através da parábola :
Assim, como esse limite depende do caminho , então ele limite não existe. Se ele não existe, não é possível definir a função no ponto , isto é, dizer que ela é igual ao valor do limite. Assim, não é possível estender a função de modo que a função resultante seja contínua na origem.
Passo 5
Pô, nossa função não é sequer contínua na origem, como que ela poderia ser diferenciavel?
Então, não, né?
Passo 6
Pra essa poder ter derivadas parciais contínuas na origem ela precisaria ser diferenciável. Mas, como ela não é, isso também não é possível.
Resposta
- Não
- Não
- Não