A função
é diferenciável na origem?
Passo 1
Vamos primeiro testar a continuidade da função.
Para essa função ser contínua na origem, basta que o limite dela, na origem, seja o proprio valor que ela assume no ponto , ou seja,
Mas, aqui vem um truque: é muito mais fácil provar que o limite não existe!
Não custa nada, e quer ver como é rápido de fazer isso?
Passo 2
Podemos calcular o valor do limite pra uma infinidade de caminhos, então vamos escolher os mais fáceis! Uma boa é testar primeiro e . Então vamos lá:
Passo 3
Agora testando :
Opa! Obtivemos 2 resultados diferentes! Portanto o limite não existe, e a função não é contínua na origem.
Passo 4
E sabemos que
Logo, não é diferenciável na origem.
Resposta
A função não é diferenciável em .
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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos y ( π , 0 )