UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 23.
Diga se as afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique se forem verdadeiras e dê um contraexemplo para as falsas.
Assuma que , , o domínio é aberto e .
- Se é contínua em então é derivável em
- Se é contínua em então possui as derivadas parciais em
- Se possui todas as derivadas parciais em então é contínua em
- Se possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
- Se é contínua e possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
- Se é derivável em então possui todas as derivadas parciais em
- Se é derivável em então é contínua em
- Se é derivável em então todas as suas derivadas parciais são contínuas em
- Se possui todas as derivadas parciais contínuas em então é derivável em
- Se não possui uma das derivadas parciais em então não é derivável em
- possui todas as derivadas parciais continuas em se, e somente se, é derivável em
Passo 1
Falso! O contrário dessa afirmação é verdadeiro, mas o que está escrito aí não. Não se confunda com isso! Diferenciabilidade implica continuidade, mas o contrário não é verdadeiro. Existem várias funções contínuas que não são diferenciáveis, como por exemplo:
Ela é contínua em , mas quando vamos calcular aquele limitão, ele não é zero (ele nem existe, na verdade).
Passo 2
Falso. Assim como a função ser continua não tem nenhuma relação direta com ela ser diferenciável, o fato de ela ser contínua, não significa que ela tenha derivadas parciais. Por exemplo, a função
É contínua pois ela é composta por funções contínuas, mas não tem derivadas parciais.
Essa função tem um “bico” na origem. Assim, quando temos calcular suas derivadas parciais pela definição,
Percebemos que se tendermos a zero pela esquerda temos que esses limites dão -1. Já se tendermos a zero pela direita, esse limite dá +1. Assim, as derivadas parciais não existem.
Passo 3
Falso. Ter derivadas parciais apenas não significa nem que a função é diferenciavel, quem dirá contínua. Por exemplo, a função
Não é contínua, porém, suas derivadas parciais existem.
Passo 4
Falso. Não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto.
Podemos usar o mesmo exemplo do item anterior. A função
Não é contínua, logo, não pode ser diferenciavel, porém, suas derivadas parciais existem.
Passo 5
- Se é contínua e possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
Falso.
Diferenciabilidade implica continuidade, mas o contrário não é verdadeiro. Existem várias funções contínuas que não são diferenciáveis. Além disso, para ser diferenciável, não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto.
Passo 6
Verdadeiro! (Aleluia!)
A justificativa? Isso é um teorema hehe
Passo 7
Verdadeiro! Isso também é um teorema: diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 8
Falso!!! O teorema diz que “Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto”. Mas a recíproca N-Ã-O é verdadeira. Por exemplo, a função
É diferenciavel (pois aquele limitão é igual a zero), mas a derivada parcial em relação a não é contínua.
Passo 9
Verdadeiro. Outro teorema: Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 10
Verdadeiro. Se é derivável em , então possui todas as derivadas parciais em . A afirmação desse item é uma contra recíproca desse teorema e, portanto, é verdadeira.
Passo 11
Falso. Esse “se e somente se” é aquela setinha de ida e volta. A ida, de fato, vale, ou seja, possui todas as derivadas parciais contínuas em se é derivável em .(É um teorema). Mas a volta, isto é, a reciproca desse teorema, não é verdadeira. Por exemplo, a função
É diferenciavel (pois aquele limitão é igual a zero), mas a derivada parcial em relação a não é contínua.
Conforme vimos no item .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)