Calculo 2 – UFPE – 1° EE
Considere a função dada por
- Calcule e
- é diferenciável? Justifique.
Passo 1
Para os pontos , as derivadas parciais da nossa função são funções contínuas. Portanto, a nossa função é diferenciável para estes pontos.
O problema aqui é o ponto . Para que seja uma função diferenciável, ela também deve ser no ponto . E para checarmos isto, vamos analisar a nossa própria função . Será se ela é continua no ponto ?
Para que ela seja contínua, o seu limite deve existir. Vamos checar o limite testando dois caminhos. Primeiro, para , temos:
Agora, quando checamos pelo caminho , temos:
Como caminhos diferentes nos deram limites diferentes, sabemos então que o limite da nossa função quando não existe. Logo, a função não é contínua na origem.
E para a função ser diferenciável na origem, ela deve ser contínua. Portanto, a função não é diferenciável na origem!
Resposta
A função não é diferenciável na origem.