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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - 1ª Prova, Questão 6

6) Se g s , t = f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 e f é diferenciável em R 2 , mostre que g satisfaz a equação:

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que g s , t = f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 e f é diferenciável em R 2 .

Com essas informações, temos que mostrar que t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 0

Complexo, né? 👀

Para resolver esse problema, temos que aplicar a regra da cadeia para obter ∂ g ∂ s e ∂ g ∂ t .

Nesse caso, temos g s , t = f x , y sendo que x = s 2 - t 2 e y = t 2 - s 2 .

Portanto, se g s , t = f x , y , temos que a derivada de g em função de s é dada em f pela regra da cadeia

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

Já a derivada de g em relação a t é dada em f como

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter a derivada de g em função de s

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

Se x = s 2 - t 2 e y = t 2 - s 2 então

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ s 2 - t 2 ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ t 2 - s 2 ∂ s

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ x 2 s + ∂ f ∂ y - 2 s

Agora obtendo a derivada de g em função de t ...

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ s 2 - t 2 ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ t 2 - s 2 ∂ t

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 t

E por fim, substituindo na equação do enunciado que temos que provar, vamos obter

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = t ∂ f ∂ x 2 s + ∂ f ∂ y - 2 s + s ∂ f ∂ x - 2 t + ∂ f ∂ y 2 t

Aplicando a distributiva...

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 2 s t ∂ f ∂ x - 2 s t ∂ f ∂ y - 2 s t ∂ f ∂ x + 2 s t ∂ f ∂ y

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 2 s t - 2 s t ∂ f ∂ x + - 2 s t + 2 s t ∂ f ∂ y

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 0 ∂ f ∂ x + 0 ∂ f ∂ y

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

t ∂ g ∂ s + s ∂ g ∂ t = 0

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