UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 3b
Seja uma função de duas variáveis.
b) Explique por que a função f (x, y) é diferenciável no ponto (1, 0).
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente explicar por que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (1,0). Bem, para isso, primeiro precisamos saber quando uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto. Basicamente, ela deve satisfazer às seguintes condições:
i) A função f(x,y) deve ser contínua nesse ponto.
ii) Para ser diferenciável em um ponto, a função deve possuir derivadas parciais nesse ponto.
Como a função é dada pela soma de duas funções contínuas (uma exponencial e um seno), temos que a função é contínua sobre o plano, e consequentemente, também no ponto (1,0).
Agora, precisamos verificar a segunda condição. Mas para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f(x,y). Então bora lá derivar!
Passo 2
Para derivar uma função de duas variáveis em relação a uma delas, precisamos considerar a outra como constante durante o processo. Então, vamos começar calculando a derivada parcial de f(x,y) em relação à x, considerando y como constante:
Agora, para encontrar a derivada parcial de f(x,y) em relação à y, fazemos a mesma coisa, mas dessa vez considerando x como constante. Assim, como a derivada da exponencial é ela mesma, obtemos:
No ponto (1,0) temos que as derivadas e assumem, respectivamente, os valores 1 e 3. Portanto, a função possui derivadas parciais no ponto (1,0). Assim, a função f(x,y) é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Desenvolvida ao longo da questão.