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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

IME, Cálculo 2, 2019, VC, Q4C

Seja a função abaixo definida

f x , y = exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 ,     s e   x 2 + y 2 < 4 0 ,                           s e   x 2 + y 2 ≥ 4

  1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f ( x , y ) .
  2. Determine a função gradiente de f ( x , y ) .
  3. Determine o conjunto dos pontos onde f ( x , y ) é diferenciável.

Passo 1

Faaala, pessoal! Por definição:

∂ f ∂ u = ∇ f ⋅ u →

Com u → unitário. Como para x 2 + y 2 ≠ 4 , o gradiente está definido como vimos no item ( b ) , então a função é diferenciável nessa região. Visto que é derivável em qualquer direção.

Passo 2

Contudo, para x 2 + y 2 = 4 , precisamos utilizar a definição da derivada direcional. Determinada pela existência do limite abaixo, para u → unitário e arbitrário e x 2 + y 2 = 4 :

∂ f ∂ u = lim h → 0 ⁡ f x , y + h u → - f ( x , y ) h = lim h → 0 ⁡ f x , y + h u → - 0 h

Se x , y + h u → está fora do círculo de raio 2 centrado na origem, então a função f e o limite se anulam. Se está dentro, então:

∂ f ∂ u = lim h → 0 ⁡ 1 h exp ⁡ 2 x + h u x 2 + y + h u y 2 - 4 =

= lim h → 0 ⁡ 1 h exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 ⏟ = 0 + 2 h x u x + y u y + h 2 ( u x 2 + u y 2 ) ⏟ = 1

= lim h → 0 ⁡ 1 h exp ⁡ 2 h 2 + 2 h x u x + y u y

= lim h → 0 ⁡ 1 h exp ⁡ 2 h 2 + 2 x , y ⋅ h u →

Contudo, repare que pela restrição de que x , y + h u → aponte para dentro do círculo de raio 2, o produto escalar x , y ⋅ h u → → 0 + , uma vez que o ângulo entre esses vetores deve ser menor que 90 ° .

Assim, h 2 + 2 x , y ⋅ h u → → 0 + e:

exp ⁡ 2 h 2 + 2 x , y ⋅ h u → → + ∞

De forma que o limite não existe. Disto resulta que a função não é diferenciável para os valores ( x , y ) , tais que x 2 + y 2 = 4 .

Resposta

f é diferenciável em x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≠ 4 } .

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