Dada a função
- A função é continua na origem? Justifique sua resposta.
- A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Passo 1
a)
Vamos começar substituindo os valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 2
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:
Também não há nenhuma função trigonométrica.
E além disso, temos e somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.
Passo 3
Vamos substituir para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:
Se pegarmos positivo vamos ter
Então esse limite está dependendo do caminho.
Logo, não existe limite!, não precisamos nem pegar o limite pelo outro lado.
Se o limite não existe ela não é continua.
Passo 4
b)
Se a função não é continua ela não é diferenciável.
Resposta
- Não
- Não