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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 8b.

8. Verifique a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

b) h x , y = x y 2 x 2 + y 4 ,     s e x , y ≠ 0,0 0 ,     s e   x , y = 0,0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, nosso objetivo é verificar se a função h x , y é diferenciável no ponto que vamos chamar de P = 0,0 . Para fazermos essa verificação, temos que verificar algumas regrinhas que toda função diferenciável.

Lembra quais são essas regrinhas? 🤔

Para as funções de mais de uma variável, sua diferenciabilidade depende de alguns fatores:

Primeiro: se a função for diferenciável, ela deve ser contínua no ponto P .

Segundo: se a função for diferenciável, suas derivadas parciais devem existir no ponto P .

Terceiro: se as derivadas parciais da função são contínuas no ponto P , então a função é diferenciável!

Entendeu? Bora ver no nosso caso então! 😎

Passo 2

Primeiro vamos ver se h x , y é contínua em 0,0 . Pra isso, a função deve tender a 0 quando x , y se aproxima de 0,0 . Ou seja

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 0

Vamos verificar se essa igualdade é satisfeita!

Podemos usar o método de aproximação por curvas que passam no ponto P . Assim, se encontrarmos um valor diferente de 0 em alguma aproximação, certamente a função será descontínua e, portanto, não diferenciável.

Vamos começar pela curva x = y ! Substituindo x por y no limite e fazendo y tender a 0 , temos

lim y → 0 ⁡ y y 2 y 2 + y 4 → lim y → 0 ⁡ y 3 y 2 + y 4

Dividindo o numerador e o denominador por y 3 , temos

lim y → 0 ⁡ y 3 y 3 y 2 y 3 + y 4 y 3 → lim y → 0 ⁡ 1 1 y + y

Fazendo y tender a 0 , o termo 1 y vai tender ao infinito, já que temos uma constante positiva e relativamente alta se comparado com um número muito pequeno tendendo a 0 . Por exemplo em

1 0,0001 = 10000 1 0,000001 = 1000000

Portanto, seguindo a mesma regra, mas agora para um número pequeno sendo multiplicado por um número muito grande...

lim y → 0 ⁡ 1 ∞ + 0 = 1 ∞ = 0

Então por enquanto a função tem se mostrado ser contínua.

Passo 3

Mas agora nos aproximando pela curva x = y 2 , temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 → lim y → 0 ⁡ y 2 y 2 y 2 2 + y 4

Como a b a c = a b + c e a b c = a b c , então

lim y → 0 ⁡ y 4 y 4 + y 4

lim y → 0 ⁡ y 4 2 y 4

Simplificando y 4 do numerador e do denominador, temos que

lim y → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Como o limite de uma constante é igual a própria constante, então se nos aproximarmos de 0,0 , pela curva x = y 2 , através da função h x , y , vemos que a imagem da função é igual a 1 / 2 no ponto.

Como esse valor é diferente de 0 , chegamos à conclusão que h x , y é descontínua no ponto P e portanto não é diferenciável!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Não é diferenciável

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