Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Considere a função

é contínua em ? Justifique.

Calcule e .

Há plano tangente a em ? Justifique.

Passo 1

Vamos lá... O que uma função precisa para ser contínua? Ela precisa que o limite dela quando ela tende a um ponto seja exatamente igual ao valor dela nesse ponto! Já sabemos o valor de , que, pelo enunciado, é . Agora vamos calcular o seguinte limite:

E veremos se ele é igual ou não ao valor da função nesse ponto. Se não for, então a função não é contínua. Se for, teremos que usar o teorema do sanduíche para ver se o limite realmente existe e é igual a .

Passo 2

Vamos tentar alguns caminhos?

Como temos uma soma no denominador, então optaremos primeiramente por um caminho que percorra ou o eixo ou o eixo . Por exemplo, pela reta e o limite fica:

Aí está, o limite encontrado foi !

Lembrando que isso não quer dizer que o limite exista e seja de fato igual a . Mesmo que no próximo passo encontremos , isso não quer dizer que o limite exista! Se por acaso isso acontecer, parta para o Teorema do Sanduiche ;)

Passo 3

Beleza, agora tentemos outro caminho. Como o grau do denominador é e no numerador temos um produto de variáveis de grau , é uma boa ideia tentar manter o mesmo grau em cima e embaixo. O caminho que atende bem a isso é a reta . O limite fica:

Opa! Deu diferente que o anterior! Mano, isso é realmente ótimo, porque economizamos o tempo que seria gasto provando a possível existência desse limite pelo teorema do sanduíche...

Logo, a função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe ;)

Passo 4

Vamos fazer essas derivadas parciais? Não podemos simplesmente derivar , que é o valor que ela assume na origem, certo? Então vamos apelar para a definição da derivada parcial!

Em relação a fica:

E é isso, a derivada parcial em relação a é :)

Passo 5

Em relação a fica:

E aí está, a derivada em relação a é !

Passo 6

Como a função não é contínua na origem, ela já não é diferenciável. Além disso, se você olhar para as derivadas que encontramos, a origem não é um ponto na qual ela é contínua, por que o denominador da fração seria . Dessa forma, o gráfico da nossa função não pode ter plano tangente na origem.