USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 6
Sejam uma função e . Assinale, dentre as afirmações abaixo, precisamente aquelas que são verdadeiras.
Escolha uma ou mais:
Se não admite derivadas parciais em , então não é diferenciável em .
Se não é diferenciável em , então não admite derivadas parciais em .
Se não é diferenciável em , então as derivadas parciais de não são contínuas em .
Se admite derivadas parciais em , então é diferenciável em .
Se não é contínua em , então não admite derivadas parciais em .
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
Neste enunciado é definida uma função que leva um par coordenado de número para os reais. Ele estabelece um ponto de forma que possamos analisar a continuidade de , diferenciabilidade de e existência das derivadas parciais. Para isso vamos lembrar alguns teoremas
1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua neste ponto;
2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
3. se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
As recíprocas não são verdades, e podemos encontrar facilmente contra exemplos! Vamos tentar usar isso para analisar nossas alternativas! Belezinha?
Passo 2
Primeiro a alternativa . Isso é verdade, note pelo teorema que ambas as derivadas parciais devem existir para garantir a diferenciabilidade da função, a alternativa no entanto é uma recíproca falsa, note que não garantir os teoremas 1 e 2 é o suficiente para que uma função não seja diferenciável, imagine uma função descontínua em , ela não é diferenciável, no entanto, ainda é possível avaliar as derivadas parciais da mesma. Vamos avaliar as outras alternativas agora!
Passo 3
A alternativa , temos que se as derivadas parciais são contínuas, e, portanto, existem neste ponto, pelo teorema garantimos que a função é diferenciável. Ou seja, se as derivadas parciais não são contínuas, a função não é diferenciável, tornando esta alternativa verdadeira. No entanto, se as derivadas parciais existem, não necessariamente a função é diferenciável, uma vez que também é necessário que as mesmas sejam contínuas, tornando a alternativa falsa. Falta apenas mais uma para se analisar!
Passo 4
Para a alternativa note que a recíproca do teorema 1 é falsa, então uma função descontínua pode ser diferenciável, e se ela for diferenciável, pelo teorema , ela admite derivadas parciais! Portanto, a alternativa é falsa.
Sendo assim, temos que apenas as alternativas e como verdadeiras, e o restante é falso. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Alternativa e são verdadeiras.