UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 2ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 2a
Seja uma função de classe e considere a sua Jacobiana no ponto . Suponha que e e que os vetores e sejam ortogonais entre si.
Mostre que admite uma inversa em uma vizinhança de .
Passo 1
Olá gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão?
Nessa questão temos uma função vetorial de várias variáveis. Nesse caso é dito que ela é do no . Ou seja, é como se sua lei de formação fosse dada por:
Sobre essa função é dada a sua matriz Jacobiana em , que nada mais é do que uma matriz com as derivadas das componentes de com relação a suas variáveis no ponto :
Também é falado que , e e são ortogonais. Ou seja, o seu produto escalar vale:
De posse de todas essas informações, o enunciado nos pede pra mostrar que a nossa função admite uma inversa na vizinhança de .
Pra provar isso precisamos relembrar um teorema muito importante! Basicamente, ele diz que uma função possui inversa nas proximidades de se, e somente se, a jacobiana de em for invertível.
Perfeito! Vamos tentar provar isso então 😊
Passo 2
Para mostrar que possui inversa nas proximidades de , queremos mostrar que a jacobiana de em é invertível.
Mas, para mostrar que uma matriz é invertível basta mostrar que o seu determinante é diferente de zero.
Então excelente! Temos que o determinante da Jacobiana vale:
Precisamos então mostrar que .
Massa!
Pelo enunciado sabemos que e são ortogonais.
Então:
Logo:
Substituindo na nossa express��o do determinante, temos que:
Mas, como e , temos que:
Logo, concluímos que o determinante da Jacobiana em é diferente de zero, e consequentemente essa matriz é invertível. Portanto, existe inversa nas proximidades de .
Muito bom galera! Com isso finalizamos a nossa demonstração 😊
Até a próxima!!
Resposta
Resposta no texto.