Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

b )   f x = 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas nesse caso temos um polinômio que é bem-comportado! Sendo assim não temos assíntotas verticais

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2 = + ∞

Como não encontramos nenhum número, a função não tem assíntota horizontal olhando para x positivo, e a função explode para + ∞ .

Agora vamos ver para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2 = + ∞

Olhando para x negativo vemos que também não temos assíntota, e a função explode para + ∞

Então é isso: não temos nem assíntotas verticais, nem horizontais bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2

f ' x = 12 x 3 - 24 x 2 + 12 x

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

12 x 3 - 24 x 2 + 12 x = 0

12 x ( x 2 - 2 x + 1 ) = 0

12 x x - 1 2 = 0

Aqui temos duas soluções:

x = 0   ; x = 1

Tudo bem até aqui?

Achamos dois pontos críticos candidatos a máximo ou mínimo: x = 0 e x = 1 . Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 2 , 1 2 e x = 2 :

f ' - 2 > 0

f ' 1 2 < 0

f ' 2 < 0

Assim podemos classificar os pontos críticos

x = 0 : m í n i m o   l o c a l

x = 1 : n ã o   é   e x t r e m o   l o c a l

Como em torno de x = 1 não houve mudança de sinal da função derivada, em x = 1 a função não apresenta nem máximo, nem mínimo, embora a derivada seja zero nesse ponto. Beleza?

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( 0 , + ∞ )

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , 0 )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 12 x 3 - 24 x 2 + 12 x

E derivar novamente

f ' ' x = 36 x 2 - 48 x + 12

Igualando a zero temos:

36 x 2 - 48 x + 12 = 0 → 3 x 2 - 4 x + 1 = 0

x = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ( 3 ) ( 1 ) 2 ( 3 ) = 4 ± 2 6

E assim temos duas soluções:

x = 1   ;     x = 1 3

Assim temos dois pontos de inflexão: x = 1 e x = 1 3

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desse ponto.

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 1 3 U 1 , + ∞

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 1 3 , 1

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4
  • f 0 = 2
  • x = 0 : m í n i m o   l o c a l
  • x = 1 : p o n t o   c r í t i c o
  • 0 , + ∞ : c r e s c e n t e
  • - ∞ ,   0 : d e c r e s c e n t e
  • x = 1 3   e   x = 1 :   p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • - ∞ , 1 3 U 1 , + ∞   : c ô n c a v a   p a r a   c i m a
  • 1 3 , 1 : c ô n c a v a   p a r a   b a i x o
  • s e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s   o u   h o r i z o n t a i s
  • Comportamento no infinito: lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ ; lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x = 0 : m í n i m o   l o c a l

x = 1 : p o n t o   c r í t i c o

0 , + ∞ : c r e s c e n t e

- ∞ ,   0 : d e c r e s c e n t e

x = 1 3   e   x = 1 :   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

- ∞ , 1 3 U 1 , + ∞   : c ô n c a v a   p a r a   c i m a

1 3 , 1 : c ô n c a v a   p a r a   b a i x o

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