Considere

1. é contínua em ? é derivável em ?
2. Calcule e
3. Determine os pontos críticos de .
4. Em quais intervalos é crescente?
5. Em quais intervalos é decrescente
6. Determine, se houver, os pontos de mínimo local de .
7. Determine, se houver, os pontos de máximo local de .
8. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para cima?
9. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para baixo?
10. Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de .
11. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de .

Vamos ver agora se ela é derivável, para isso temos que achar as derivadas a direita e a esquerda,

Vamos ter

Como as derivadas laterais são iguais a função vai ser derivável em

Vamos achar os limites que ele pediu

Para esse limite infinito vamos por em evidência, é aquele tipo de limite com polinômio

Vamos começar pelos pontos críticos, para isso devemos achar a derivada de

Vamos igualar essa derivada a , primeiro para

Isso nos diz que

E ambos servem, porque ambos são

Vamos agora ver para

Os valores que o cosseno é um são

Mas aqui só vamos pegar isso porque não está em , ele ignora os extremos.

E o nosso único ponto crítico vai ser

Vamos analisar o sinal da derivada

Na primeira parte vamos ter uma função de segundo grau com duas raízes, a parábola fica algo assim

Aqueles pontos são e

Então ela vai ser positiva em

Não vamos pegar porque ele não faz parte do intervalo que a parábola pertence.

Na segunda parte, temos o cosseno,

Como cosseno nunca vai ser maior que ele nunca vai ser positivo, e o intervalo que a função é crescente vai ser

Usando as ideias do passo anterior vamos ter, no primeiro intervalo a derivada vai ser positiva em

Na segunda parte ela vai ser sempre negativa, então a função vai ser decrescente em

Vamos analisar os pontos críticos, são três

Pelo que vimos só em um vai ter troca de sinal da derivada, em , nesse ponto ele vai de para no sinal da derivada, então pelo teste da primeira derivada ele vai ser ponto de máximo local.

Então não temos ponto de mínimo local.

Já vimos que vamos ter um ponto de máximo local, que vai ser onde

Vamos achar o valor de

Para olharmos a concavidade devemos achar a segunda derivada

Vamos analisar o sinal dessa segunda derivada, na primeira parte com

Temos

Dessa forma quando estiver

Ele vai ser côncavo para cima, vamos ver agora a segunda parte dessa derivada

E vamos ter

Sendo o intervalo onde o seno é negativo, dessa forma a função vai ser côncava para cima em

E

Como vimos no passo anterior, o gráfico vai ser côncavo para baixo em

E

Temos trocas de concavidades uma em , uma em e uma em , vamos achar os pontos completos

E os pontos de inflexão vão ser

O gráfico vai ser algo mais ou menos assim, vamos primeiro marcar os pontos de inflexão e o ponto de máximo.

O gráfico vai ficar algo assim