Esboço de Curvas
Esboce o gráfico da função
determinando domínio, interceptos, a existência de assíntotas verticais e horizontais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos extremos, concavidade e pontos de ineflexão.
Passo 1
Nós temos que dividir a análise do gráfico em domínio, análise do crescimento, análise de concavidade e assíntotas. Começamos no domínio:
Como a gente vê, não há fator limitante para o domínio. Nosso domínio vai ser:
Há ainda uma relação de paridade, já que para qualquer valor de . Isso significa que a função será espelhada em relação ao eixo .
Sobre os interceptos, a gente vai ver que nunca é nula, então não cruza o eixo . Porém, cruza o eixo no ponto em que ,
Passo 2
Assíntotas agora. As verticais estão relacionadas com as descontinuidades, ou seja, não teremos nenhuma delas para essa função.
Para assíntotas horizontais temos que lançar o limite para e :
Uma assíntota horizontal em , para os . Assim, não haverão assíntotas oblíquas.
Passo 3
Vamos observar o crescimento da função; para isso analisamos o sinal da derivada primeira. Vamos derivar o termo pela Regra do Produto e da cadeia:
Como a exponencial é sempre positiva nós vemos que o sinal da derivada vai depender só do , que é positivo para e negativo para !
A função é decrescente em e crescente em . será o único ponto crítico, que consistirá em um máximo local, já que a derivada é positiva antes e negativa depois.
Passo 4
Vamos olhar a derivada segunda agora e a concavidade. Vamos, novamente pela Regra do Produto:
Então o termo da derivada segunda, por se tratar de uma exponencial vezes uma diferença de quadrados pode ser escrito como:
Podemos fazer o quadro de sinais para esse cara, já lembrando que a exponencial é positiva e o sinal só depende do e do .
A gente vai reparar que a concavidade é para cima quando e para baixo quando está em .
Ponto de inflexão em , .
Passo 5
Agora reunimos as informações que já achamos:
Vamos para o esboço, sendo e :
