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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

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Enunciado

Considere a função g definida por

g x = x 2 - 4 2 x - 4

a) Determine o domínio da função g .

b) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de g , caso existam.

c) Determine as equações das retas assíntotas horizontais e verticais do gráfico de g , caso existam.

d) Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de g e suas retas assíntotas, caso existam.

Passo 1

a) Temos duas restrições para o domínio:

x 2 - 4 ≥ 0

E

2 x - 4   ≠ 0

Resolvendo a primeira:

x 2 - 4 ≥ 0

x 2 - 4 ≥ 0

x 2 ≥ 4

- 2 ≥ x ≤ 2

      ⇓

- ∞ ,   - 2 ] ∪ [ 2 ,   + ∞ )

E agora a segunda:

2 x - 4   ≠ 0

2 x ≠ 4

x ≠ 2

Unindo os resultados encontrados descobrimos que o domínio é:

- ∞ ,   - 2 ] ∪ ( 2 ,   + ∞ )

Passo 2

b) Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de g . Então vamos começar derivando a função:

g ' x = 2 x 2 x 2 - 4 2 x - 4 - 2 x 2 - 4 ( 2 x - 4 ) ² = x 2 x - 4 - 2 x 2 - 4 x 2 - 4 ( 2 x - 4 ) ² = - 4 x + 8 x 2 - 4 ( 2 x - 4 ) ²

Passo 3

x , pois é composto de uma raíz quadrada e uma potência par. Então o sinal da derivada depende apenas da reta - 4 x + 8 . Vamos analisar o sinal dela:

A reta é positiva (crescente) antes de x = 2 e negativa (decrescente) depois desse ponto, mas tome cuidado pois temos que considerar o domínio da função que é

- ∞ ,   - 2 ] ∪ ( 2 ,   + ∞ )

Portanto, a função não está definida em x = 2 . Antes desse ponto a função só está definida em - ∞ ,   - 2 ] e depois dele só está definida em 2 ,   + ∞ ) . Portanto:

  • Intervalo de crescimento de g : - ∞ ,   - 2 ]
  • Intervalo de decrescimento de g : 2 ,   + ∞ )

Passo 4

c) Pra calcular as assíntotas horizontais temos que fazer os limites com x → ± ∞ . Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 4 2 x - 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 - 4 x 2 2 x x - 4 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 4 x 2 2 - 4 x = 1 - 0 2 - 0 = 1 2

Agora vamos fazer com x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 2 x - 4 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 - 4 x 2 2 x - x - 4 ( - x ) = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 4 x 2 - 2 - 4 ( - x ) = 1 - 0 - 2 - 0 = - 1 2

Portanto, g tem como assíntotas horizontais y = 1 2 e y = - 1 2

Passo 5

A partir do estudo do domínio, sabemos que o único x candidato à ser assíntota vertical é x = 2 , pois não pertence ao domínio. Teremos que calcular os limites laterais em torno desse ponto e se algum deles der ± ∞ então a reta x = 2 será assíntota vertical.

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 4 2 x - 4 = lim x → 2 + ⁡ x - 2 ∙ x + 2 2 ( x - 2 ) = lim x → 2 + ⁡ x + 2 2 x - 2 = + ∞

Opa! Já deu infinito. Entao podemos afirmar que x = 2 é assíntota vertical.

Passo 6

d) Agora estamos prontos pra esboçar o gráfico, que fica assim:

Resposta

a) D o m g =   - ∞ ,   - 2 ] ∪ ( 2 ,   + ∞ )

b) Intervalo de crescimento de g : - ∞ ,   - 2 ] e Intervalo de decrescimento de g : 2 ,   + ∞ )

c) g tem como assíntotas horizontais y = 1 2 e y = - 1 2 e x = 2 como assíntota vertical.

d)

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