Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f(x) = ln(x^2 + x + 1)

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?

Passo 2

Vamos então derivar!!!

f ' x = 2 x + 1 x 2 + x + 1

Na segunda derivada vamos precisar usar a regra do quociente!!

f ' ' x = 2 x 2 + x + 1 - ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) x 2 + x + 1 2

Vamos igualar a segunda derivada a zero.

2 x 2 + x + 1 - ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) x 2 + x + 1 2 = 0

2 x 2 + 2 x + 2 - 4 x 2 + 4 x + 1 = 0

2 x 2 + 2 x + 2 - 4 x 2 - 4 x - 1 = 0

- 2 x 2 - 2 x + 1 = 0

Descobrindo agora quais são as raízes, temos:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 2 2 - 4 - 2 1

Δ = 4 + 8 = 12

Para encontrar as raízes, vamos fazer:

x = - b ± Δ 2 a

x 1 = 2 + 12 - 4 ≈ - 1,4

x 2 = 2 - 12 - 4 ≈ 0,4

Portanto, nossos pontos de inflexão são x = 0,4 e - 1,4

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza?

x < - 1,4

x > 1,4

x > 0,4

Passo 3

Vamos testar no primeiro intervalo com x = 0

f ' ' x = 2 x 2 + x + 1 - ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) x 2 + x + 1 2

f ' ' 0 = 1 > 0

Para o segundo intervalo vamos testar -5

f ' ' - 1 = - 3 < 0

Temos então que a concavidade é pra cima quando f ' ' > 0 e pra baixo quando f ' ' < 0

Temos então que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]  

Resposta

x = 0   é o ponto de inflexão e que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]

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