UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 10 – Questão 2c
Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:
- Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
- Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
- Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
- Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
- Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
- Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando
Anota aí!
E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!
Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas nesse caso temos um logaritmo e ele não é definido para : aqui temos uma descontinuidade! Como o log está definido apenas para valores positivos de , vamos fazer o limite de tendendo à zero apenas pela direita
Ao olharmos para um número encontramos um infinito: assíntota vertical!
Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando , beleza? Vamos começar com :
Como não encontramos nenhum número, a função não tem assíntota horizontal olhando para positivo, e a função explode para .
Agora vamos ver para a função não está definida, então precisamos fazer o limite
Então é isso: não temos nem assíntotas horizontais e apenas uma vertical em , bora analisar a derivada primeira?
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada :
Os pontos críticos são onde a derivada é zero:
Não existem pontos que deixariam essa derivada igual a zero: isso significa que não temos pontos críticos
Tudo bem até aqui? E o intervalo de crescimento e decrescimento? Como a função não está definida para , os valores de só podem ser positivos, e assim a derivada primeira irá retornar valores positivos também
Isso significa que a função é crescente em todo intervalo
Bora para a análise da derivada segunda!
Passo 4
Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!
A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função
- Derivada segunda positiva: função côncava para cima
- Derivada segunda negativa: função côncava para baixo
Beleza?
Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:
E derivar novamente
Igualando a zero temos:
E aqui também não temos valores de que deixe a segunda derivada zero! Na verdade, todos os valores de que você substituir na derivada segunda irá encontrar um valor negativo
Assim temos que a função é côncava para baixo em qualquer parte do intervalo!
Beleza? Estamos quase lá!
Passo 5
Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!
- Comportamento em e no infinito:;
E nosso gráfico ficou assim:
Ufa terminamos!
E é isso! Espero ter ajudado!
Resposta
Comportamento em e no infinito:;