Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

c )   f x = ln ⁡ ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = ln ⁡ ( x )

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = ln ⁡ ( x )

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas nesse caso temos um logaritmo e ele não é definido para x = 0 : aqui temos uma descontinuidade! Como o log está definido apenas para valores positivos de x , vamos fazer o limite de ln ⁡ x   tendendo à zero apenas pela direita

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Ao olharmos para um número encontramos um infinito: assíntota vertical!

x = 0

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x = + ∞

Como não encontramos nenhum número, a função não tem assíntota horizontal olhando para x positivo, e a função explode para + ∞ .

Agora vamos ver para x → - ∞ a função não está definida, então precisamos fazer o limite

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2 = + ∞

Então é isso: não temos nem assíntotas horizontais e apenas uma vertical em x = 0 , bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = ln ⁡ x

f ' x = 1 x

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

1 x = 0

Não existem pontos que deixariam essa derivada igual a zero: isso significa que não temos pontos críticos

Tudo bem até aqui? E o intervalo de crescimento e decrescimento? Como a função não está definida para x < 0 , os valores de x só podem ser positivos, e assim a derivada primeira irá retornar valores positivos também

Isso significa que a função é crescente em todo intervalo

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 1 x

E derivar novamente

f ' ' x = - 1 x 2

Igualando a zero temos:

- 1 x 2 = 0

E aqui também não temos valores de x que deixe a segunda derivada zero! Na verdade, todos os valores de x que você substituir na derivada segunda irá encontrar um valor negativo

Assim temos que a função é côncava para baixo em qualquer parte do intervalo!

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : s e m p r e

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = ln ⁡ x
  • n ã o   t e m   p o n t o s   c r í t i c o s
  • s e m p r e   c r e s c e n t e
  • s e m p r e   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o
  • n ã o   p o s s u i   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o
  • s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s
  • a s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 0
  • Comportamento em x → 0 + e no infinito: lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = - ∞ ; lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

n ã o   t e m   p o n t o s   c r í t i c o s

s e m p r e   c r e s c e n t e

s e m p r e   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o

n ã o   p o s s u i   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s

a s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 0

Comportamento em x → 0 + e no infinito: lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = - ∞ ; lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

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