Considere uma função contínua f : R - 1 → R . Com as seguintes propriedades

  1. f é crescente nos intervalos 0,1 e 1,2
  2. f é decrescente nos intervalos - ∞ , 0 e 2 , ∞
  3. lim x → - ∞ ⁡ f x = 1 lim x → ∞ ⁡ f x = 0 lim x → 0 ⁡ f x = - 2 lim x → 1 + ⁡ f x = - ∞ lim x → 1 - ⁡ f x = ∞ f 2 = 3

Responda as questões abaixo

  1. Esboce o gráfico da função f
  2. Quanto vale f 0 ? Quanto vale lim x → 2 ⁡ f x ?
  3. Qual o número mínimo de soluções da equação f x = x ?

Passo 1

a )

Para fazermos o gráfico primeiro vamos organizar essa parada vamos começar tentando identificar as assíntotas pelo que ele deu. Primeiro vamos as assíntotas horizontais, queremos ver lim x → ± ∞ ⁡ f x ele deu ali, quais são?

lim x → - ∞ ⁡ f x = 1

lim x → ∞ ⁡ f x = 0

Ou seja temos duas assíntotas horizontais: y = 1 e y = 0

Vamos ver agora as assíntotas verticais, tem algum ponto que vai para ? Repara que temos x → 1 - e x → 1 + fazendo a função ir para infinito, então temos uma assíntota vertical

x = 1

Onde pela esquerda vai para e pela direita vai para - ∞

Passo 2

Vamos ver agora os intervalos de crescimento e decrescimento, mas ele já deu, molezinha hein show de bola

  1. f é crescente nos intervalos 0,1 e 1,2
  2. f é decrescente nos intervalos - ∞ , 0 e 2 , ∞

Isso também nos dá os pontos de máximo e mínimo, lembrando que quando vamos do crescente para o decrescente o ponto é de máximo, e quando vamos do decrescente para o crescente o ponto é de mínimo.

Então vamos ter

x = 2 → m á x i m o   l o c a l

x = 0 → m í n i m o   l o c a l

Precisamos saber o valor da função nesses dois pontos para onde colocar no gráfico. Ele disse que a função é contínua, então vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Então temos o valor de f 0 = - 2 e o valor de f 2 ele deu, que vai ser f 2 = 3

Isso já é o suficiente para fazer o gráfico.

Passo 3

Vamos fazer o esboço, primeiro deixa eu desenhar as linhas auxiliares, marcando os máximo e mínimos e as assíntotas.

Fazendo o esboço vamos ter algo assim

Passo 4

b )

Como já disse ali em cima a função é contínua, então em x = 0 e x = 2 vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

lim x → 2 ⁡ f x = f 2

Usando os dados que ele deu vamos ter

- 2 = f 0

lim x → 2 ⁡ f x = 3

E está ai as coisas que ele pediu.

Passo 5

c )

Vamos traçar a reta y = x para ver como fica

Quantas vezes a reta vermelha corta o gráfico? 4 né? Então o mínimo de soluções que ele tem é 4

Resposta

  1. - 2 = f 0         e         lim x → 2 ⁡ f x = 3
  2. 4

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