Seja

1. Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função .
2. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Encontre também os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos da função, assim como os respectivos valores da função nesses pontos.
3. Determine os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo, assim como os seus pontos de inflexão.
4. Use as informações dos itens (a)-(c) para esboçar o gráfico de .

Agora vamos pras assíntotas horizontais. Basta calcular os limites da função no infinito:

Usando l’Hôpital:

? L’Hôpital de novo!

Pro limite em vai ser praticamente a mesma coisa, basta aplicar l’Hôpital várias vezes seguidas:

Então é a única assíntota horizontal da .

(b)

Nesse item precisamos da derivada da . Sendo que

Derivando com a regra do quociente :

Dividindo por em cima e embaixo:

Desenvolvendo isso aí:

Pra descobrir como cresce a , temos que estudar o sinal dessa derivada. Então vamos montar um quadro de sinais bonitinho.

Só uma observação antes:

Ou seja:

Enfim, vamos ao quadro:

Daí, pelo teste da primeira derivada, concluímos que é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .

A questão também pediu os máximos e mínimos.

Vimos lá atrás que em a função explode pra , lembra? Isso significa que não tem ponto de máximo global.

E na verdade, isso significa também que não tem ponto de máximo local! Os pontos de máximo local aparecem quando o sinal da derivada muda de pra né? O único ponto onde isso acontece é , que é justamente o ponto onde a função explode pra infinito.

Já em o sinal da derivada muda de pra , e não temos nenhum problema de indeterminação em , então esse ponto é um ponto de mínimo local.

O valor desse mínimo é:

Olhando o quadro de sinais e levando em conta que

Podemos ver que também é ponto de mínimo global da função.

(c)

Agora precisamos da derivada segunda da . Lembrando que

Derivando de novo com a regra do quociente:

Dividindo o numerador e o denominador por :

Como , nem precisamos fazer quadro de sinal.

Basta ver o sinal de :

Portanto, tem concavidade para cima no intervalo e concavidade para baixo no intervalo .

O único ponto de inflexão da é onde a concavidade muda: . E temos que

(d)

Podemos resumir todas as informações que achamos numa tabelinha:

Agora é só esboçar a criança: