Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f(x) = x * e^(x/2)

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?

Passo 2

Vamos então derivar, para esse caso, vamos precisar usar a regra do produto porque temos a multiplicação entre duas funções as qual será derivada.

f ' x = e x 2 + x 2 e x 2

f ' ' x = 1 2 e x 2 + 1 2 e x 2 + x 4 e x 2 = 0

f ' ' x = e x 2 + x 4 e x 2 = 0

f ' ' x = 4 e x 2 + x e x 2 4 = 0

f ' ' x = e x 2 4 + x = 0

Portanto,

x = - 4

Portanto, nosso ponto de inflexão é x = - 4

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza?

x > - 4

x < - 4

Passo 3

Vamos testar no primeiro intervalo com x = 0

f ' ' x = 4 e x 2 + x e x 2 4

f ' ' 0 = 1 > 0

Para o segundo intervalo vamos testar -5

f ' ' - 1 = - 3 < 0

Temos então que a concavidade é pra cima quando f ' ' > 0 e pra baixo quando f ' ' < 0

Temos então que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]  

Resposta

x = 0   é o ponto de inflexão e que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]

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