Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = e x / x 2  

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

x 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Assim, temos que:

D = x ∈ I R x ≠ 0 }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f 0   n ã o   e s t á   d e f i n i d a

0 = e x x 2 ⇒   n ã o   e s t a   d e f i n i d a      

Logo a função não intercepta os eixos.

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = 1 ,   temos:

  1. f - 1 = f 1 ⇒ e - 1 - 1 2 = e 1 1 2 ⇒ 1 e ≠ e
  2. f - 1 = - f 1 ⇒ e - 1 - 1 2 =   - e 1 1 2 ⇒ 1 e ≠ - e
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se lim x → ∞ ⁡ f x = L     e lim x → - ∞ ⁡ f x = L ,   então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ( o u - ∞ ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

lim x → a + ⁡ f x = ∞                                                         lim x → a - ⁡ f x = ∞

lim x → a + ⁡ f x =   - ∞                                                   lim x → a - ⁡ f x =   - ∞

Resolvendo o limite aplicando l’Hôspital temos:

lim x → ∞ ⁡ e x x 2 = lim x → . ∞ ⁡ e x 2 x   = lim x → ∞ ⁡ e x 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x x 2 = lim x → - ∞ ⁡ e x 2 = 0

Assim, há uma assíntota horizontal em y = 0 .

Tomando x = 0 , temos:

lim x → 0 + ⁡ e x x 2 = lim x → 0 + ⁡ e x × lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 = ∞

Logo, temos uma assíntota vertical em 0 .

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f ' x = e x x 2 - 2 x e x x 4 = x ( x e x - 2 e x ) x 4 = e x ( x - 2 ) x 3   > 0  

Por consequência:

e x x - 2 > 0 ⇒ x e x > 2 e x ⇒ x > 2

Então, x > 2   , f ' x > 0 , assim f é decrescente em - ∞ , 0 e ( 0,2 ) e crescente em ( 2 , ∞ ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' c = 0 ou f ' c n ã o   e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f ' x = 0 ⇒ e x ( x - 2 ) x 3 = 0

Observamos que a equação é satisfeita para x = 2 e observando o resultado do passo anterior podemos concluir que a função descresce antes de 2 e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' x = e x x - 2 e x x 3 ⇒ f ' ' x =   ( x e x + e x - 2 e x ) x 3 - 3 x 2 ( x e x - 2 e x )   x 5 > 0

Então f é côncava para cima com x no intervalo de ( 0 , ∞ ) e ( - ∞ , 0 ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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