Vamos letra por letra, porque isso não é bagunça hehe.

1. As restrições ao domínio estão localizadas nos pontos de indeterminação ou singularidade. Temos aqui um produto de duas funções sem restrições ao domínio, um polinômio e uma exponencial. Dessa maneira, não haverá restrição ao domínio e:

A interseção com o eixo se dá quando a função vale zero:

Como a exponencial é sempre positiva:

A interseção com o eixo acontece quando , onde, já vimos:

Ou seja, a função passa pela origem.

Passo 2

2. Começando pelas assíntotas horizontais, devemos testar a função para e :

Já para :

Uma vez que a exponencial vai a zero quando a base tende a menos infinito muito mais rápido que um polinômio vai a menos infinito na mesma condição. Também é possível demonstrar isso usando L’Hôpital.

Dessa maneira, temos uma assíntota horizontal em .

Como a função é sempre continua, não haverá assíntotas verticais.

Passo 3

3. A função cresce quando a derivada é positiva e decresce do contrário. Vamos calcular a derivada então. Pela regra do produto e cadeia:

Que zera em . Testando o sinal à esquerda e a direita desse ponto:

Ou seja, a função é decrescente para:

E crescente para:

Aproveitando os dados que já conseguimos, vimos que a derivada zera em , ou seja, esse é um ponto crítico. Vimos também que a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita, assim, pelo teste da primeira derivada esse é um ponto de mínimo. Nesse ponto:

Passo 4

4. A função é côncava para cima quando a segunda derivada é maior que zero e côncava para baixo quando a segunda derivada é menor que zero. Assim, vamos calcular a segunda derivada. Pela regra do produto e cadeia novamente:

Que zera quando . Testando valores à esquerda e à direta desse ponto:

Portanto, a função é côncava para baixo para:

E côncava para cima para:

No ponto onde a função troca de concavidade, temos um ponto de inflexão:

Passo 5

5. Com os dados obtidos, chegamos ao gráfico: