5. Esboce o gráfico da função f(x) = x * e^x , destacando todos os 9 passos utilizados.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Essa é uma questão que pede para esboçarmos os gráficos e destacar cada passo realizado.

Vamos começar entendendo o domínio da função! Repara que temos a seguinte função

f x = x e x

Nossa, função é um produto de uma função polinomial x e uma função exponencial e x . Ambas funções são continuas e existem para qualquer ponto. Logo nosso domínio será todos os reais.

D f = R

Bora o próximo passo!

Passo 2

Agora vamos achar os pontos críticos! Para isso precisamos derivar a nossa função e igualar a zero.

Aplicando a regra da cadeia para derivar f ( x ) ficamos com

f ' x = 1 . e x + x e x

f ' x = 1 + x e x

Igualando a zero, ficamos com

1 + x e x = 0

x = - 1

Logo, x = - 1 é o único ponto crítico da função. Agora vamos analisar o seu entorno!

Para x < - 1 , temos que f ' x < 0 (aqui se você quiser conferir, pode escolher qualquer valor valor menor que - 1 e substituir na derivada para encontrar um valor negativo). E para x > - 1 , temos f ' x > 0 (se quiser conferir aqui também, sem problemas). Logo f é descrecente em valor menores que - 1 e crescente em valores maior que - 1 , o que mostra que x = - 1 é uma mínimo local.

Passo 3

Agora que já sabemos que x = - 1 é um mínimo local, vamos descobrir quanto ele vale, jogando esse valor na função:

f x = x e x

f - 1 = - e - 1 = - 1 e

Note que f - 1 < 0 .

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda derivada e descobrir se temos um ponto de inflexão!

Fazendo a segunda derivada temos,

f ' x = 1 + x e x

f ' ' x = 2 + x e x

Igualando a zero ficamos com

2 + x e x = 0

x = - 2

Agora vamos analisar o seu entorno, seguindo o mesmo raciocinio da primeira derivada!

Para x < - 2 , temos que f " x < 0 e para x > - 2 , temos f " x > 0 . Logo f é côncava para baixo em valores menores que - 2 e côncava para cima em valores maiores que - 2 , o que mostra que x = - 2 é um ponto de inflexão.

Passo 5

Outra possibilidade que temos que considerar é a existência de assíntotas verticais. Os pontos candidatos a assíntotas verticais são aqueles em que a função não existe, então verificamos se o limite tendendo àquele ponto vai para infinito.

Neste caso, temos que D f = R e f é contínua em R , como vimos no Passo 1. Logo não há assíntotas verticais.

Passo 6

Agora vamos para as assíntotas horizontais! Para encontrá-las precisamos verificar os limites tendendo a infinito. Fica assim

lim x → ∞ ⁡ x e x = ∞

Ou seja, não há assíntota horizontal em .

Agora vamos analisar para - ∞ . Fica assim,

lim x → - ∞ ⁡ x e x = - ∞ . 0

Temos uma indeterminação. Então, vamos reescrever essa função e aplicar L’Hospital.

lim x → - ∞ ⁡ x e x = lim x → - ∞ ⁡ x e - x

Derivando em cima e embaixo,

= lim x →   - ∞ ⁡ - 1 e - x = 0

Logo, em x = 0 temos uma assíntota horizontal em - ∞ .

Passo 7

Agora vamos procurar assíntotas oblíquas. Como já encontramos uma assíntota horizontal para - ∞ , faremos apenas para .

Para encontrar assíntotas oblíquas, calculamos

lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x e x x =   lim x → ∞ ⁡ e x = ∞

Logo, não há assíntotas oblíquas.

Passo 8

Agora vamos encontrar o ponto em que a função cruza o eixo y, calculando x = 0

f x = x e x

f 0 = 0 e 0

f 0 = 0

Ou seja, a função corta o ponto ( 0,0 ) . Então já achamos ao mesmo tempo a raíz da função.

Passo 9

Por fim, vamos juntar todas as informações encontradas nos passos anteriores e montar o gráfico. Fica assim:

Resposta

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