Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f(x) = x^4

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?

Passo 2

Vamos então derivar

f ' x = 4 x 3

f ' ' x = 12 x 2 = 0

x = 0

Portanto, nosso ponto de inflexão é x = 0 .

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza? O valor que temos é x = 0 . Então vamos ver como o sinal da derivada segunda vai variar entre os valores de x = 0 , ou seja, - 1 < x < 1 . Pegamos valores entre o ponto de inflexão pra testar como será a concavidade.

Passo 3

Substituindo os valores escolhidos das extremidades da faixa de x , temos que

f ' ' - 1 = 12

f ' ' 1 = 12

Note o seguinte, a derivada segunda tem um x 2 ali, certo? Ou seja, não importa se o valor de x for negativo ou positivo, o valor da derivada segunda SEMPRE será positiva, ou seja, teríamos uma função crescente, em outras palavras, é uma função com concavidade pra cima no intervalo de [ - ∞ , + ∞ ] .

Resposta

x = 0 é o ponto de inflexão e a concavidade pra cima no intervalo de [ - ∞ , + ∞ ] .

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