1. Seja a função f(x) = -x^3 + x^2 , determine:
  1. Esboce o gráfico da função e determine a sua imagem.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, a questão dá pra gente a função

f x = - x 3 + x 2

e pede para gente esboçar o gráfico da função e dizer qual a sua imagem. Certo? Então pensa comigo, qual a melhor maneira de esboçar o gráfico de uma função?

Bom, podemos fazer isso encontrando algumas informações importantes que ajudarão a gente a tornar o nosso trabalho mais simples. Primeiro, essa é uma função de terceiro grau, então o gráfico é uma cobrinha, podemos também encontrar suas raízes, assim saberemos em quais pontos ela corta o eixo x , podemos olhar o crescimento e decrescimento dela, seus pontos de máximo e mínimo, e também sua concavidades. Tudo isso vai fazer como que a gente seja capaz de desenhar o gráfico perfeito. E tudo isso já foi encontrado nos itens anteriores.

Então vamos juntar todas as informações e colocar aqui.

Passo 2

O domínio da nossa função é igual todos os reais, já que f x é uma função polinomial

D o m = R

Igualando nossa função a zero, encontramos as raízes iguais a:

Raízes x 1 = x 2 = 0 e x 3 = 1

E o seu comportamento é:

- ∞ , 0 → f x   é   d e c r e s c e n t e .

0 ,   2 / 3 → f x   é   c r e s c e n t e .

2 / 3   , + ∞ → f x   é   d e c r e s c e n t e .

x = 0   é   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

x = 2 3 é   p o n t o d e   m á x i m o   l o c a l .

E temos o seguinte comportamento:

x = 1 / 3 ponto de inflexão.

- ∞ , 1 / 3 → f x tem concavidade voltada para cima.

1 / 3 ,   ∞ → f x tem concavidade voltada para baixo.

E juntando tudo isso, ficamos com o esboço do gráfico na função da seguinte forma:

E pra fechar, podemos ver que a imagem são todos os valores reais, já que f ( x ) pode assumir qualquer valor.

I m a g e m   d e   f x = R

E prontinho. Problema resolvido. 😊

Partiu próxima?!

Resposta

No desenvolvimento.

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