Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

Vamos então derivar

Portanto, nosso ponto de inflexão é .

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza? O valor que temos é . Então vamos ver como o sinal da derivada segunda vai variar entre os valores de , ou seja, . Pegamos valores entre o ponto de inflexão pra testar como será a concavidade.

Substituindo os valores escolhidos das extremidades da faixa de , temos que

Note o seguinte, a derivada segunda tem um ali, certo? Ou seja, não importa se o valor de x for negativo ou positivo, o valor da derivada segunda SEMPRE será positiva, ou seja, teríamos uma função crescente, em outras palavras, é uma função com concavidade pra cima no intervalo de .