UFSC – Lista 3.7 – 2021.1 – P2e
Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.
Passo 1
E aí, pessoal?!
Essa questão dá pra gente uma função e pede 2 coisas: as concavidades e os pontos de inflexão. Mas primeiro de tudo, o que é isso?
Ponto de inflexão é quando a segunda derivada da função é zero. Geometricamente, é onde a concavidade da função muda.
Opa! Então agora conectamos os 2 conceitos que o enunciado pede pra gente :0
Se no ponto de inflexão a concavidade muda, então a gente vai usar esse ponto pra definir os intervalos nos quais a gente precisa avaliar a concavidade. Como assim? Agora ficou confuso! Vamos com calma que você vai entender.
Mas antes de qualquer coisa, vamos derivar a função! Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.
Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?
Passo 2
Vamos então derivar 2 vezes e igualar a zero pra achar os pontos de inflexão:
Portanto, nossos pontos de inflexão são
Passo 3
Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Ou seja:
- Se a concavidade é pra cima
- Se a concavidade é pra baixo
Então é só ver o sinal da segunda derivada? Isso mesmo! Mas esse sinal pode mudar ao longo do domínio.
Então vamos usar os pontos de inflexão (onde a concavidade muda), pra definir intervalos em que a concavidade não muda.
Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza?
Em cada um desses intervalos, vamos pegar um valor qualquer de e ver se a segunda derivada é positiva ou negativa.
Passo 4
Vamos testar no primeiro intervalo com
Para o segundo intervalo vamos testar 0,1
Por último, vamos testar
Temos então que a concavidade é pra cima quando e pra baixo quando
Temos então que a concavidade é pra cima de , pra baixo de e pra cima em .
Resposta
é o ponto de inflexão e que a concavidade é pra cima de , pra baixo de e pra cima em .