Esboço de Curvas
Considere :
é contínua em ? é derivável em ?
Calcule e .
Determine os pontos críticos de .
Em quais intervalos é crescente?
Em quais intervalos é decrescente?
Determine, se houver, os pontos de mínimo local de .
Determine, se houver, os pontos de máximo local de .
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para cima?
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para baixo?
Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de .
Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Para descobrir se a função é contínua no temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em e outra em :
Ora, os limites laterais batem, então .
Passo 2
Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:
Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando :
Para fugir da indeterminação usamos L’Hospital:
Vamos fazer agora para :
Como vemos, os limites laterais da definição da derivada bateram, o que significa que é derivável em .
Passo 3
Vamos calcular os dois limites pedidos:
Caso não tenha entendido, esse aqui é o gráfico do arco tangente, cuja imagem fica sempre dentro do intervalo :
O outro limite agora:
Pelos cálculos dos limites notamos que há uma assíntota horizontal: . Como não temos descontinuidades na função nós não temos assíntotas verticais.
Passo 4
Vamos derivar a função :
Na região de temos que é sempre positivo, então não há pontos críticos. Já no domínio de temos que o termo tem denominador sempre positivo e só será nulo em , no resto será positivo também.
Conclui-se, há apenas um ponto crítico em .
Passo 5
Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo bem como para todo , sendo nula só em . Ou seja, a função é sempre crescente, não havendo região de decrescimento, com o detalhe da derivada ser nula em :
Passo 6
Nosso único ponto crítico é . Como sua derivada é positiva antes desse ponto e depois dele nós vemos que esse ponto não configura nem máximo nem mínimo local!
Passo 7
Vamos calcular e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:
No espaço onde a derivada segunda é dada por , termo que é negativo para esse valor de . Assim, côncavo para baixo para todo .
Para a derivada segunda é , cujo denominador é sempre positivo. Assim, o sinal só depende de .
Pela configuração do termo nós percebemos que entre e nós temos a derivada segunda negativa e a côncava para baixo. Fora dessa região a concavidade é para cima, sendo em . Como esse termo só é a derivada segunda em , vemos que a concavidade será para baixo em e positiva no resto do domínio, sendo a derivada segunda nula em .
Passo 8
O único ponto em que a é nula é em , sendo que em a função muda de concavidade também, só que sem ser nula.
Passo 9
Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:
Vamos fazer o esboço:
