Considere a função:

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

1. O domínio da função;
2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de .

As assíntotas horizontais saem pelos limites abaixo:

Como essa função já não tá definida mesmo pra , só precisamos nos preocupar com o primeiro limite. Fazendo ele obtemos:

E não é que é algo que podemos tirar por L’Hospital? Então vamo que vamo:

Ok, se fizemos o limite de continuamos com . Mas isso n tem problema algum, só realizar L’Hospital de novo. Aí ficamos com:

Opa, agora as coisas mudaram! Aplicando o limite vamos ter:

Então sim, temos uma assíntota horizontal e ela vai ser

Já as assíntotas verticais, o normal seria a gente fazer limites tendendo à valores que baguncem com o denominador ou numerador, gerando indeterminações. Mas como já vimos que a função está definida em , não tem nenhum valor candidato pra gente checar.

Poderíamos até tentar fazer mas nem o primeiro valor do domínio gera indeterminação, saca só:

Pois é, sem assíntotas verticais dessa vez. No entanto, pra esboçar o gráfico lá na frente, guarda o que acabou de ver, que .

Os intervalos onde a função é crescente são aqueles onde a derivada é positiva:

E decrescente onde ela é negativa:

Portanto:

Pra gente saber quando ela é positiva e quando é negativa vamos ter que ver o sinal em intervalos que envolvam alguns pontos interessantes. Esses pontos nada mais vão ser do que os pontos que a primeira derivada zera e os pontos que ela não existe!

Beleza, então vamos nessa

Mas não vale porque se escolhêssemos esse valor e calculássemos , iríamos achar uma indeterminação! Então temos só uma raiz pra primeira derivada:

Agora, os pontos em que a derivada não existe são os que fazem:

Beleeeza, então os intervalos tem que ser montados usando os pontos e . Vamos ter então esses três:

Opa, uma macete aqui cai bem: como a gente já sabe que a função não está definida pra , já descartamos logo. Então pro segundo intervalo, vamos ver, por exemplo, . Vamos ter:

E pro segundo intervalo, vamos usar, por exemplo, . Vamos ter

Os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser então

Os máximos e mínimos ocorrem onde a derivada é igual a zero.

Agora a questão é analisar a troca de sinal em torno desses pontos. Em , antes da raiz temos que a derivada é positiva e em , ponto depois da raiz, a derivada é negativa. Portanto, estamos olhando na verdade pra um ponto de máximo.

Como com o a função também tende para , esse ponto de máximo é na verdade um ponto e máximo global!

Os intervalos da concavidade correspondem ao sinal da derivada segunda:

E aí precisamos fazer a mesma coisa: ver pontos em que a segunda derivada zera e pontos em que ela não existe. Só de olhar pro denominador, vemos que:

Então é um dos pontos. Guarda ele aí. Agora, quais pontos zeram, temos que fazer:

O que é verdade quando e/ou quando . No segundo caso, a resposta sai por Bhaskara. Então simbora:

E como a função não está definida mesmo pra , os intervalos que vamos analisar vão ser:

Como:

Pra testar o primeiro intervalo, vamos usar, por exemplo, . Vamos ter:

Pro segundo intervalo, vamos usar, por exemplo, . Vamos ter:

E pro último intervalo, vamos usar, por exemplo, . Vamos ter:

Como a concavidade é pra cima quando a segunda derivada é positiva e pra baixo quando ela é negativa, temos então que ela vai ser pra cima nos intervalos

E para baixo em:

E os pontos de inflexão são:

Obtemos o gráfico: