Considere a função:

E as suas primeira e segunda derivadas.

a) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

b) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

c) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

d) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de .

Já para as verticais, podemos observar uma descontinuidade em , logo:

Segue que existe a assíntota vertical:

Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente são definidos abaixo:

Portanto, vamos analisar o sinal da derivada:

Como o termo no denominador é um quadrado perfeito, não entra na nossa análise de sinal, por ser sempre positivo. Vamos então analisar o sinal de:

Fatorando:

E estudando o sinal pela nossa tabela:

Portanto segue que os respectivos intervalos são:

Em consequência de nossa análise, descobrimos onde a derivada zera, que são os pontos em que e . Portanto são pontos críticos e devemos analisá-los.

Em , temos que a função passa de decrescente para crescente, portanto é um mínimo.

Em , a função passa de crescente para decrescente, portanto se trata de um máximo.

Como a função cresce arbitrariamente para muito grande, e decresce arbitrariamente para muito pequeno, não existe mínimo nem máximo globais.

Portanto é um mínimo local e é um máximo local.

Avaliando o sinal da derivada segunda podemos ver o comportamento da função no que tange à sua concavidade.

Como temos que a nossa derivada segunda é:

Só precisamos analisar o sinal de , que é simples:

Portanto os intervalos são:

Já os pontos de inflexão não existem, pois não conseguimos fazer a derivada segunda zerar:

E o esboço do gráfico é, portanto: