Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x - 5 arctan ⁡ x

Passo 1

Como as duas funções que compõem f são contínuas, o domínio é

D = R

Passo 2

A função não é par, pois f ( x ) ≠ f ( - x ) .

A função é ímpar, porque f - x = - f ( x ) . Observe:

f - x = - x - 5 arctan ⁡ - x = - x + 5 arctan ⁡ x

- f x = - x + 5 arctan ⁡ x

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima dos pontos onde o domínio não está definido. Para essa função, esses pontos não existem, logo também não existem assíntotas verticais.

Já as assíntotas horizontais, ocorrem com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ x - 5 arctan ⁡ x = ∞ - 5 π 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x - 5 arctan ⁡ x = - ∞ + 5 π 2 = - ∞

Como os dois limites foram para infinito, a função não tem assíntotas horizontais.

Passo 4

A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua. Assim, f ( x ) é contínua em R .

Passo 5

Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical são aqueles pontos onde a derivada não está definida. Como

f ' x = 1 - 5 1 + x ²

não há nenhum ponto em que a derivada não está definida. Logo, a função não possui reta tangente vertical ao gráfico.

Passo 6

Para definir se ela é crescente ou decrescente, temos que analisar o sinal da derivada: onde é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Já temos a derivada:

f ' x = 1 - 5 1 + x 2 = 1 + x 2 - 5 1 + x 2 = x 2 - 4 1 + x 2

Agora temos que analisar o sinal da derivada. Note que ele só depende de x 2 - 4 , pois o denominador é sempre positivo. Vamos fazer a análise do sinal desse termo. Ele é positivo quando

x 2 - 4 > 0

x 2 > 4

x < - 2   e   x > 2

e negativo quando

x 2 < 4

x > - 2   e   x > 2

Portanto, f crescente no intervalo - ∞ , - 2 ⋃ 2 , + ∞ e decrescente no intervalo - 2,2 .

Passo 7

Os extremos relativos são os máximos e mínimos locais. Para achá-los, primeiro temos que determinar os pontos críticos, fazendo f ' x = 0 . Nesse caso, temos

x = - 2

x = 2

como pontos críticos. Pela análise do sinal da derivada, concluímos que x = - 2 é um máximo relativo e x = 2 é um mínimo relativo.

Passo 8

Definimos a concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a segunda derivada.

f ' ' x = 10 x ( 1 + x 2 )

Agora, analisando o sinal, temos que

  • f ' ' x > 0 (concavidade para cima) quando x > 0
  • f ' ' x < 0 (Concavidade para baixo) quando x < 0

Então, x = 0 é ponto de inflexão.

Passo 9

Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores, menores ou iguais aos extremos relativos.

Como lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ , ela não possui extremos absolutos, visto que cresce e decresce infinitamente, atingindo valores maiores que que os dos extremos relativos.

Passo 10

A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = ± ∞ ,

I m = - ∞ , + ∞

Passo 11

Agora juntamos todas as informações para esboçar o nosso gráfico.

Resposta

( f i g u r a   a c i m a )

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