Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x x 2 + 9

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x 2 + 9 ≠ 0 . Todavia, como x 2 + 9 > 0 , segue que

D f = R

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

Observe que a função é ímpar:

f - x = - x - x 2 + 9 = - x x 2 + 9 = - f ( x )

Como ela é ímpar, ela apresenta simetria com relação à origem.

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 9 = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 9 = 0

Assim, tanto para - ∞ como para + ∞ , a reta y = 0 é assíntota horizontal da função.

Como o domínio da função é a reta real toda, o gráfico da função não vai apresentar assíntotas verticais.

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos de y ' :

y ' = 1 ⋅ x 2 + 9 - x ⋅ 2 x x 2 + 9 2 = 9 - x 2 x 2 + 9 2 = - x 2 - 9 x 2 + 9 2

Como x 2 + 9 2 > 0 , o termo - x 2 - 9 = - ( x - 3 ) ( x + 3 ) vai mandar no sinal de y ' :

Assim, - 3 , - 1 6 é ponto de mínimo local, enquanto que 3 , 1 6 é ponto de máximo local.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y ' ' = - 2 x ⋅ x 2 + 9 2 - x 2 - 9 ⋅ 2   x 2 + 9 ⋅ 2 x x 2 + 9 4 = - 2 x   x 2 + 9 - 4 x   ( x 2 - 9 ) x 2 + 9 3

Assim,

y ' ' = 2 x   ( x 2 - 27 ) x 2 + 9 3

Como x 2 + 9 3 > 0 , o termos que vai mandar no sinal de y ' ' é x x 2 - 27 = x   ( x - 3 3 ) ( x + 3 3 ) :

Assim, os pontos de inflexão são - 3 3 , - 3 12 , ( 0,0 ) e 3 3 , 3 12 .

Resposta

O esboço da curva:

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