UFRJ – Cálculo 1 – Lista 12 – Questão 1b
Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico
- Dê o domínio de
- Estude os intervalos onde é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
- Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
- Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
- Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
- Esboce o gráfico
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Passo 2
Como o denominador não pode se anular, devemos ter . Todavia, como , segue que
Passo 3
A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem .
Passo 4
Observe que a função é ímpar:
Como ela é ímpar, ela apresenta simetria com relação à origem.
Passo 5
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:
Assim, tanto para como para , a reta é assíntota horizontal da função.
Como o domínio da função é a reta real toda, o gráfico da função não vai apresentar assíntotas verticais.
Passo 6
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos de :
Como , o termo vai mandar no sinal de :
Assim, é ponto de mínimo local, enquanto que é ponto de máximo local.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Assim,
Como , o termos que vai mandar no sinal de é :
Assim, os pontos de inflexão são , e .
Resposta
O esboço da curva:
