Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f(x) = 3*x^4 - 4*x^3 - 12*x^2 + 1

Passo 1

E aí, pessoal?!

Essa questão dá pra gente uma função e pede 2 coisas: as concavidades e os pontos de inflexão. Mas primeiro de tudo, o que é isso?

Ponto de inflexão é quando a segunda derivada da função é zero. Geometricamente, é onde a concavidade da função muda.

Opa! Então agora conectamos os 2 conceitos que o enunciado pede pra gente :0

Se no ponto de inflexão a concavidade muda, então a gente vai usar esse ponto pra definir os intervalos nos quais a gente precisa avaliar a concavidade. Como assim? Agora ficou confuso! Vamos com calma que você vai entender.

Mas antes de qualquer coisa, vamos derivar a função! Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Passo 2

Vamos então derivar 2 vezes e igualar a zero pra achar os pontos de inflexão:

f ' x = 12 x 3 - 12 x 2 - 12

f ' ' x = 36 x 2 - 24 x = 0

12 x 3 x - 2 = 0

x 1 = 0

x 2 = 2 3

Portanto, nossos pontos de inflexão são x = 0   e 2 3

Passo 3

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Ou seja:

  • Se f ' ' x > 0 a concavidade é pra cima
  • Se f ' ' x < 0 a concavidade é pra baixo

Então é só ver o sinal da segunda derivada? Isso mesmo! Mas esse sinal pode mudar ao longo do domínio.

Então vamos usar os pontos de inflexão (onde a concavidade muda), pra definir intervalos em que a concavidade não muda.

x < 0

0 < x < 1 3

x > 1 3

Em cada um desses intervalos, vamos pegar um valor qualquer de x e ver se a segunda derivada é positiva ou negativa.

Passo 4

Vamos testar no primeiro intervalo com x = - 1

f ' ' - 1 = 36 - 1 2 - 24 - 1 = 36 + 24 = 60 > 0

Para o segundo intervalo vamos testar 0,1

f ' ' 0,1 = 36 0,1 2 - 24 0,1 = - 2,04 < 0

Por último, vamos testar x = 1

f ' ' 1 = 36 1 2 - 24 1 = 36 - 24 = 12 > 0

Temos então que a concavidade é pra cima quando f ' ' > 0 e pra baixo quando f ' ' < 0

Temos então que a concavidade é pra cima de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , 1 3 ]   e pra cima em 1 3 ,   ∞ .

Resposta

x = 0   e 1 3 é o ponto de inflexão e que a concavidade é pra cima de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , 1 3 ]   e pra cima em 1 3 ,   ∞ .

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