Seja a função dada por:
- Encontre os intervalos e tais que é inversível para todo , é inversível para todo e
- Para cada intervalo obtido no item anterior, faça um esboço em um mesmo plano cartesiano da reta com os gráficos das funções e
- Determine o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de tal que o gráfico de passe pelo ponto
Passo 1
Antes da gente começar e mergulhar de cabeça na questão, vamos dar uma lembrada rápida no conceito de função inversa:
Então uma função inversa é aquela que tem como domínio a imagem da função que a originou e tem como imagem o domínio da função que a originou. Ok, mas vamos lembrar de oooutra coisa importante: O Teorema da Função Inversa:
Bem, é um polinômio né, então é derivável pra todo . Agora, vamos ver se ta valendo. Saca só:
Se igualarmos a primeira derivada à , temos:
Opa, então não é verdade em toooodos os pontos. Mas nos domínios:
Aí sim vai ser inversível! E taí a letra respondida já! Se:
Então de fato é inversível para todo e para todo e de fato
Passo 2
Agora vamos esboçar os gráficos que tivermos pra esboçar. Pra comerçar, vamos esboçar a curva original:
Então, vamos fazer a primeira e a segunda derivada e igualar a , beleza? Assim a gente vai achar, respectivamente, informações sobre a inclinação da reta tangente ao gráfico e a concavidade. Derivando uma vez:
Opa, temos como ponto crítico. Vamos ver se ele é de máximo ou de mínimo ou nenhum dos dois então. Escolhendo um antes dele, por exemplo, , temos:
E escolhendo um depois, por exemplo, , temos:
Então é um ponto de mínimo, o que quer dizer que antes de a função decresce e depois, cresce. Partiu checar a segunda derivada agora:
Olha só! A segunda derivada é positiva pra todo ! Então a função vai ter concavidade pra cima o tempo todo! Pra fechar o esboço, vamos olhar pras interseções com os eixos. Se :
Sendo assim, o ponto faz parte da curva. Agora, saca só a sagacidade! Como o ponto
É um ponto de mínimo, fazemos:
Então o ponto de mínimo é , um ponto acima do eixo ! Sem interseções com o eixo nesse caso galera. Terminamos então! Agora é só esboçar!
E aproveite e deixe logo esboçado também 😉
Passo 3
Agora vamos olhar pras inversas. Pra isso, precisamos achar elas primeiro. Seja:
Se passarmos o pro outro lado, temos:
O que ainda é um polinômio de segundo grau no qual queremos saber as raízes! Usando a querida fórmula de Bháskara:
Onde:
Ficamos com:
Trocando e de lado:
Ok, ok, mas tem um sinal de ali. Então vão ser duas funções? Exatamente! Uma pra cada um dos domínios e ! Agora, dá uma olhada. Se , então:
E saca só! A inequação acima só é possível se o sinal de for o escolhido! Então o para o domínio vai ser:
E para o domínio vai ser:
Passo 4
Vamos esboçar as coisas agora pra cada um dos domínios, a começar por . Primeiramente, como esse domínio não é todo o conjunto dos reais, o esboço de:
Vai ter que ser limitado para:
Como vimos no passo anterior, a inversa desse caso que queremos é:
Então partiu esboçar! Vamos fazer a mesmo análise que fizemos pra , beleza? Primeira derivada primeiro então:
E veja só! A primeira derivada é sempre negativa e nunca igual à ! Ou seja, é estritamente decrescente, sem pontos críticos! Agora, analisando a segunda derivada, temos:
O que nos dá outra função no estilo da primeira derivada: sempre positiva e nunca igual à . Se a segunda derivada é assim, então tem concavidade pra cima sempre! Pra gente fechar esse esboço, pensa aqui comigo:
Opa opa, raiz par negativa? Não dá né? E ainda:
Resultado de raiz par negativa também não vale. O que tiramos daí? Que não toca nenhum dos dois eixos. E ainda, temos que:
Então fazendo:
Vemos que a curva começa no ponto ! Fechado então esse esboço em! Vamos ter então:
Passo 5
Última parte do esboço. Bora então pro domínio . Primeiramente, como esse domínio não é todo o conjunto dos reais, o esboço de:
Vai ter que ser limitado para:
Como vimos no passo anterior, a inversa desse caso que queremos é:
Então partiu esboçar! Vamos fazer a mesmo análise que fizemos pra , beleza? Primeira derivada primeiro então:
E veja só! A primeira derivada é sempre positiva e nunca igual à ! Ou seja, é estritamente crescente, sem pontos críticos! Agora, analisando a segunda derivada, temos:
O que nos dá outra função no estilo da primeira derivada: sempre negativa e nunca igual à . Se a segunda derivada é assim, então tem concavidade pra baixo sempre! Pra gente fechar esse esboço, pensa aqui comigo:
Opa opa, raiz par negativa? Não dá né? O que tiramos daí? Que não toca o eixo !. E como:
Então fazendo:
Vemos que a curva começa no ponto ! Agora, será que a função toca o eixo ? Bora ver então. Se :
Vemos que o ponto também faz parte da curva! Fechado então esse esboço em! Vamos ter então:
Passo 6
Pra fechar com chave de ouro, vamos responder a última letra. A questão quer que a gente determine algumas coisas sobre a inversa de que passa pelo ponto . Veja bem, do gráfico esboçados, a gente já podia tirar de cara que a expressão da inversa que passa por esse ponto é:
Mas se formos pensar em termos de função inversa, temos que pensar assim: seja o ponto :
E como para funções inversas:
Então vamos ter:
O que é o mesmo que dizer que o gráfico de passa pelo ponto ! E se:
O domínio de que possui o valor é . Então taí mais uma forma de saber qual dos dois que encontramos é o que a letra pede. Agora que sabemos, falta achar o domínio e a imagem de . Se:
E sendo:
Pros limites do intervalo que define o domínio, vamos ter:
Logo a imagem de vai ser
Se temos domínio e imagem de , temos de também!
Resumindo:
