Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

UFRJ, P3-2019.1

Assinale a distância do vetor á sua reflexão ortogonal pelo plano de equação :

Passo 1

Chuchu beleza galerinha bonita, queremos encontrar a distância do vetor á sua reflexão ortogonal pelo plano de equação :

Mas calma aí meu chefe, porque esse exercício é sagacidade pura. Saca só, vamos imaginar que a gente olhando pro nosso plano meio que “de lado”, e o nosso vetor em cima dele, mais ou menos assim:

Se a gente refletisse o vetor ortogonalmente, teríamos:

Portanto, a distância entre o vetor e a sua reflexão é:

Passo 2

Mas agora que começa a malandragem porque a gente não precisa calcular a reflexão e depois calcular a distância. Porque saca só, essa distância pode ser dividida em duas:

Só que essa metade da distância, é exatamente igual a Projeção Ortogonal do vetor no complemento ortogonal do plano.

Então quer dizer que a distância , pode ser expressa como:

Passo 3

Agora ficou bonitinho, o complemento ortogonal da plano , é exatamente os coeficientes que acompanham as varáveis:

Logo o complemento ortogonal é . Xuxu beleza, então a projeção de em é dada por:

Logo, a distância é:

Portanto o módulo de é:

Resposta certa, letra (b)

Resposta

Letra (b).

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