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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere a reta r : X = 2 ,   - 1 ,   4 + λ ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e os pontos A = ( 0 ,   - 3 ,   - 2 ) e B = ( 4 ,   3 ,   2 ) .

a) Verifique se B ∈ r .

b) Determine o ponto A ' , projeção ortogonal de A sobre r .

c) Determine a medida angular entre a reta l que passa por A e B e a reta r .

Passo 1

a) Bem, um ponto genérico da reta r , de acordo com a equação dela, é ( 2 + λ ,   - 1 + 2 λ ,   4 - λ ) . Para que B = ( 4 ,   3 ,   2 ) ∈ r , deve existir um λ tal que

4 = 2 + λ 3 = - 1 + 2 λ 2 = 4 - λ

Nas 3 linhas, se isolarmos λ , encontramos o mesmo valor de λ = 2 , logo, existe um λ que satisfaça essas 3 condições e portanto B ∈ r :D

Passo 2

b) Para encontrarmos o ponto A ' vamos fazer o seguinte:

Vamos escolher um ponto P qualquer da reta r , então vamos formar o vetor P A → .

Fazendo a projeção do vetor P A → na reta r (no vetor diretor dela), iremos encontrar o vetor P A ' → .

Aí pra encontrarmos A ' é só usar a relação P A ' → = A ' - P :D

Passo 3

Vamos fazer isso então ok?

O ponto P deve estar na reta r , então podemos usar o ponto B , que vimos na letra a que pertence a r . Então, P = B = ( 4 ,   3 ,   2 ) .

Logo, o vetor P A → vai ser

P A → = A - P = 0 ,   - 3 ,   - 2 - 4 ,   3 ,   2 = ( - 4 ,   - 6 ,   - 4 )

Beleza, agora bora fazer a projeção ortogonal de P A → no vetor diretor da reta r , que de acordo com a equação dela é v → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) . Essa projeção vai nos dar o vetor P A ' → :

P A ' → = P r o j v → P A → = P A → . v → v → . v → v →

P A ' → = ( - 4 ,   - 6 ,   - 4 ) . ( 1 ,   2 ,   - 1 ) 1 ,   2 ,   - 1 . ( 1 ,   2 ,   - 1 ) ( 1 ,   2 ,   - 1 )

P A ' → = - 4 - 12 + 4 1 + 4 + 1 ( 1 ,   2 ,   - 1 )

P A ' → = - 12 6 ( 1 ,   2 ,   - 1 )

P A ' → = ( - 2 ,   - 4 ,   2 )

Então:

A ' = P A ' → + P = - 2 ,   - 4 ,   2 + ( 4 ,   3 ,   2 )

A ' = ( 2 ,   - 1 ,   4 )

Passo 4

c) A reta l passa por A e B e tem vetor diretor A B → = B - A = 4 ,   3 ,   2 - 0 ,   - 3 ,   - 2 = ( 4 ,   6 ,   4 ) . Então a equação vetorial dela vai ser assim:

l : X = 4 ,   3 ,   2 + λ ( 4 ,   6 ,   4 )

Pra encontrarmos o ângulo entre r e l , vamos calcular o ângulo entre seus vetores diretores utilizando a relação de produto escalar:

cos ⁡ θ = A B → . v → A B → . v →

Substituindo os vetores:

cos ⁡ θ = ( 4 ,   6 ,   4 ) . ( 1 ,   2 ,   - 1 ) ( 4 ,   6 ,   4 ) . ( 1 ,   2 ,   - 1 )

cos ⁡ θ = 4 + 12 - 4 68 . 6

cos ⁡ θ = 12 68 . 6 = 12 408 = 408 34

Então o ângulo entre r e l vai ser

θ = arccos ⁡ 408 34

Resposta

a) Pertence.

b) A ' = ( 2 ,   - 1 ,   4 )

c) θ = arccos ⁡ 408 34

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