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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

UFRJ, P4-2019.1

Calcule a distância entre o vetor v → = 1 ,   1 ,   1 e a sua reflexão ortogonal pelo plano de equação x + 2 y + 3 z = 0 :

  1. 4 7 3 .
  2. 4 2 3 .
  3. 6 14 7 .
  4. 8 3 7 .

Passo 1

Chuchu beleza galerinha bonita, queremos encontrar a distância do vetor v → = 1 ,   1 ,   1 á sua reflexão ortogonal pelo plano de equação x + 2 y + 3 z = 0 :

Mas calma aí meu chefe, porque esse exercício é sagacidade pura. Saca só, vamos imaginar que a gente tá olhando pro nosso plano meio que “de lado”, e o nosso vetor em cima dele, mais ou menos assim:

O plano é o eixo na horizontal, e se a gente refletisse o vetor ortogonalmente, teríamos:

Portanto, a distância entre o vetor e a sua reflexão é:

Passo 2

Mas agora que começa a malandragem porque a gente não precisa calcular a reflexão e depois calcular a distância fazendo uma conta gigantesca. Porque essa distância D pode ser dividida em duas, desse jeito:

Só que essa metade da distância, é exatamente igual a Projeção Ortogonal do vetor v → = 1 ,   1 ,   1 no complemento ortogonal c ⊥ do plano.

Então quer dizer que a distância D , pode ser expressa como:

D = 2 P r o j c ⊥ v →

Passo 3

Agora começou a ficar bonitinho, saca só, o complemento ortogonal do plano x + 2 y + 3 z = 0 , é exatamente os coeficientes que acompanham as varáveis x ,   y ,   e z :

x + 2 y + 3 z = 0

1 x + ( 2 ) y + 3 z = 0

Logo o complemento ortogonal do plano é c ⊥ = 1 ,   - 1 ,   1 . Xuxu beleza, então a projeção de v → = 1 ,   1 ,   1 em c ⊥ = 1 ,   2 ,   3 é dada por:

P c ⊥ v → = v → , c ⊥   c ⊥ , c ⊥   c ⊥

P 1 ,   2 ,   3 1 ,   1 ,   1 = 1 ,   1 ,   1 , 1 ,   2 ,   3   1 ,   2 ,   3 , 1 ,   2 ,   3   1 ,   2 ,   3

P 1 ,   2 ,   3 1 ,   1 ,   1 = 1 + 2 + 3 1 2 + 2 2 + 3 2 1 ,   2 ,   3

P 1 ,   2 ,   3 1 ,   1 ,   1 = 6 14 1 ,   2 ,   3

P 1 ,   2 ,   3 1 ,   1 ,   1 = 3 7 1 ,   2 ,   3

Logo, a distância D é:

D = 2 P 1 ,   2 ,   3 1 ,   1 ,   1

D = 2 × 3 7 1 ,   2 ,   3

D = 6 7 1 ,   2 ,   3

Portanto o módulo de D é:

D = 6 7 1 2 + 2 2 + 3 2

D = 6 14 7

Resposta certa, letra (c)

Resposta

Letra (c).

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